GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

Soluţiile problemelor propuse 235anterioare, deducem că pentruM a∈M,avem:⎛1 −a ... (−1) n−1 a n−1 ⎞Ma −10 1 Cn−1(−1) 1 n−2 a n−2= ⎜⎝.⎟..0 0 ... 1⎠ =M−a.b) Evident, deoarece familia considerată este constituitădinnvectori, pentru a probacă estebazăîn V va fi suficient să verificăm liniar independenţa.Să presupunem că:λ 0p 0(x)+λ 1p 1(x)+...+λ n−1p n−1(x)=0, ∀x∈C.Făcând în această egalitate x =0,x=a, ..., x=(n−1)a, obţinem sistemul:⎧λ 0 =0⎪⎨λ 0+λ 1 =0........................⎪⎩λ 0 +λ 1 +...+λ n−1 =0,de unde λ 0 = λ 1 = ...=λ n−1 =0şi deci liniar independenţa familiei considerate. Pentrua scrie matricea P a a endomorfismelor u a − id în raport cu această bază, să observăm că:(u a − id) (p 0(x)) = u a (p 0(x)) − p 0(x) =0,iar pentru k ∈{1,...,n−1},avem:(u a−id) (p k (x)) = u a (p k (x)) − p k (x) =p k (x+a)−p k (x)== (x+a)x·...·[x−(k−2)a] x(x − a) · ...·[x−(k−1)a]− =k!a kk!a kx(x − a) · ...·[x−(k−2)a]= = p(k − 1)!a k−1 k−1 (x).Prin urmare, matricea P a va fi:⎛P a =⎜⎝0 1 0 ... 0 00 0 1 ... 0 00 0 0 ... 0 0.....0 0 0 ... 0 10 0 0 ... 0 0deci o matrice banală semibordată superior cu o diagonală de1.c) În raport cu baza considerată la pct. b), matricea aplicaţiei (ua − id)k va fi Pa k .Evident, P a este nilpotentă deordinndeoarece fiecare ridicare la o putere succesivă aluiP a are drept efect deplasarea către dreapta cu o poziţie a bordului diagonal format dinnumărul 1. Urmează atunci că pentru1≤k≤n−1avem:ker(u a − id) k = S p {p 0(x),...,p k−1 (x)},im(u a − id) k = S p {p 0(x),...,p n−k−1 (x)},iar pentru k ≥ n:ker(u a − id) k = V,im(u a − id) k = {o}.d) (i)⇒(ii). Deoarece proprietatea (i) este adevărată, rezultă că:(αu a + βu b ) ◦ (αu a + βu b ) n−1 = oşi deci im (αu a + βu b ) n−1 ⊆ ker (αu a + βu b ).⎞,⎟⎠