GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

246 Problemeşi:Rezultă:( )ω2signα + ω2β + ω2γ − 1 =+1.) √1− 1=aα + 1 2 β + 12( 1ω 2α + 1 β + 1 γ√ 11+aα + 1⇒ω 2 =2 β + 12 γ 21α + 1 β + 1 √ 1γ + α + 1 2 β + 1 ⇒2 γ 2( 1aα + 1 β + 1 −1γ)a−ω 2 =1α + 1 β + 1 √ 1γ + α + 12 β + 1 .2 γ 21R 1 =R 2 ⇔ω 1 =a−ω 2 ⇔1α + 1 β + 1 √ 1γ + α + 12 β + 1 =2 γ 2( 1aα + 1 β + 1 −1γ)=1α + 1 β + 1 √ 1γ + α + 12 β + 1 ⇒ 1 α + 1 β + 1 γ = 2 a .2 γ 2Deci 2) ↔ 3).Observaţie. Condiţia din enunţ:1α + 1 β > 1 a , 1β + 1 γ > 1 a , 1γ + 1 α > 1 a ,a fost pusă pentru a ne asigura că planul(XY Z) intersectează muchiile (A ′ B ′ ), (BB ′ ),(BC), (CD), (DD ′ )şi (D ′ A ′ )în punctele M, N, P , Q, R, S situate în interiorul acestormuchii.γ 2 −ω2 √1α 2 + 1β 2 + 1γ 2 ⇒Soluţie dată de Marian Tetiva, profesor la Colegiul Naţional Gheorghe Roşca-Codreanu din Bârlad. Vom arăta că fiecare din primele două afirmaţii este echivalentăcu a treia. Pentru aceasta vom considera un reper cartezian Oxyz care are originea Oîn punctul A şi pentru care semiaxele pozitive Ox, Oy, Oz sunt respectiv,semidreptele(AB, (AD şi (AA ′ . În acest reper vârfurile cubului au cordonatele A(0, 0, 0), B(a, 0, 0),C(a, a, 0), D(0,a,0), A ′ (0, 0,a), B ′ (a, 0,a), C ′ (a, a, a) şi D ′ (0,a,a); iar punctele X, Y ,Z au coordonatele (α, 0, 0), (0,β,0), respectiv (0, 0,γ), deci ecuaţia planului (XY Z) estexα +y β +z γ =1.1)⇔3). Punctul M reprezintă intersecţia( (planului (XY Z) cudreaptaA ′ B ′ , caracterizatăde ecuaţiile y =0şi z = a, deci M α 1 − a ) ), 0,a . Remarcăm că M aparţineγsegmentului (A ′ B ′ ) datorită condiţiilor din enunţ γ>aşi 1 γ + 1 α > 1 a .Similar obţinem:( (N a, 0,γ 1− a )) ( (,P a, β 1 − a ) ) ( (, 0 ,Q α 1− a ) ),a,0 ,ααβ( (R 0,a,γ 1− a )) ( (şi S 0,β 1− a ) ),a .βγ