GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

A. Reisner, Teorema Beatty, şiruri Wythoff, cuvântul Fibonacci 193forma y ′′ +Ψ(x)y = 0 unde Ψ(x) esteofuncţie continuă de perioadă l (înparticular o funcţie constantă)). Această funcţie y =sin(πα ′−1 t)estenulăpentru πα ′−1 t = kπ, unde k ∈ N, deci t k = kα ′ .Fie θ(n) numărul rădăcinilor funcţiei y = sin(πα ′−1 t)în intervaluldeschis (n, n + l) pentru orice n ∈ N. Cu notaţiile precedente avemθ(n) =µ(n, α ′ )şi corolarul 18 conduce atunci la teorema următoare:Teorema 19. Fiind dat cuvântul caracteristic C(α) de pantă α considerămecuaţia diferenţială omogenă y ′′ + π 2 α ′−2 y =0unde α ′ =α1 − α . Osoluţie fiind funcţia y =sin(πα ′−1 t), cuvântul C(α) este de forma C(α) =0 θ(0) 10 θ(1) 10 θ(2) 1 ...10 θ(n) 1 ... unde θ(n) este numărul rădăcinilor acesteifuncţii în intervalul deschis (n, n + l).Exemplu. Pentru α = −2, deci α ′ = −1, se obţine cuvântul luiFibonacci C(α) =Fib – vezi observaţia precedentă. În acest caz ecuaţiadiferenţială y ′′ +ω 2 y = 0 unde ω = πϕ admite ca soluţie funcţia y =sin(πϕt).Rădăcinile acestei funcţii sunt t k = kϕ −1 pentru k ∈ N. Tabloul următor indicărădăcinile t k = kϕ −1 ale funcţiei y =sin(πϕt) pentru 0 ≤ k ≤ 21:t 0 =0,ρ −1 =0,618033989 ...; 2ρ −1 =1,236067977 ...;3ρ −1 =1,854101966 ...; 4ρ −1 =2,472135955 ...;5ρ −1 =3,090169944 ...; 6ρ −1 =3,708203932 ...;7ρ −1 =4,326237921 ...; 8ρ −1 =4,944271910 ...;9ρ −1 =5,562305899 ...; 10ρ −1 =6,180339887 ...;11ρ −1 =6,798373876 ...; 12ρ −1 =7,416407865 ...;13ρ −1 =8,034441854 ...; 14ρ −1 =8,652475842 ...;15ρ −1 =9,270509831 ...; 16ρ −1 =9,888543820 ...;17ρ −1 =10,50657781 ...; 18ρ −1 =11,12461180 ...;19ρ −1 =11,74264579 ...; 20ρ −1 =12,36067977 ...;21ρ −1 =12,97871376 ....Valorile lui θ(n) pentru 0 ≤ n ≤ 12 sunt deci :θ(0) = 1, θ(1) = 2, θ(2) = 1, θ(3) = 2, θ(4) = 2, θ(5) = 1, θ(6) = 2,θ(7) = 1,θ(8) = 2,θ(9) = 2,θ(10) = 1,θ(11) = 2,θ(12) = 2 etc.şi cuvântul lui Fibonacci este de forma următoare:c(α) =Fib =0 θ(0) 10 θ(1) 10 θ(2) 10 θ(3) ...10 θ(n) 10 θ(n+1) ...== 0100101001001010010100100101001001 ....Cuvintele caracteristice C(θ) alcăror studiu a început în anii 1875de către Christoffel şi Markoff (1882) se numesc cuvintele caracteristicesturmiene. Ele sunt un caz particular al cuvintelor sturmiene s(θ, β) ==s 1 s 2 ...s n ... unde θ ∈ (0, 1) − Q, β ∈ R şi s n =[θ(n+1)+β]−[θn + β].Cuvintele sturmiene au fost introduse de către Morse şi Hedlund în anii1940 ([6]) şi sunt studiate astăzi din punct de vedere combinatoric, algebric,geometric.