GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

A. Reisner, Teorema Beatty, şiruri Wythoff, cuvântul Fibonacci 187admite ca rădăcini ϕ = 1+√ 5şi θ = 1 − √ 522proprietatea şirurilor recurente există k, k ′ reali astfel încât, pentru oricen ∈ N, F n = kϕ n + k ′ θ n . Considerând cazurile n =0şi n =1,obţinemk = 5+3√ 510şi k ′ = 5 − 3√ 510F n = 5+3√ 510şi, în final:= − 1 . Ţinând seama deϕϕ n − 5 − 3√ 5θ n = 1 (√ ϕ n+2 − θ n+2) .10 5a) În continuare, deorece ϕθ = −1, avem:F n ϕ = 1 √5(ϕ n+3 + θ n+1) = 1 √5(ϕ n+3 − θ n+3) + 1 √5(θ n+3 + θ n+1) == F n+1 + θ n+1 ( θ 2 +1√5)=F n+1 − θ n+2 .Fiind dat n = ∑ i≥0n i F i ,notăm cu π(n) =inf{i|n i =1}.Ţinând seamade cele precedente avem nϕ = ∑ n i F i+1 + r(n) unde r(n) =− ∑ i θi≥0i≥0n i+2 .Cu n i n i+1 =0obţinem: în expresia lui r(n) singurele puteri care intervinsunt puterile lui θ având aceeaşi paritate cu π(n).– Dacă π(n) estepar,Fib(n) se termină cuunnumăr par de 0. Pe dealtă parte:0 >r(n)=− ∑ ()n i θ i+2 > − θ 2 ...+θ 2k ... =− 1 ϕi≥0iparşi obţinem [nϕ]+1=...+F π(n)+1 deci Fib([nϕ] + 1) se termină printr-unnumăr impar de 0 de unde Fib([nϕ]) se termină prin 01 – vezi formulele (∗)din teorema 7 – şi, în final, Fib([nϕ] − 1) se termină cu 00.– Dacă π(n) estimpar,Fib(n)seterminăcuunnumăr impar de 0. Înacest caz avem:0