GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

S. Rădulescu şi I. V. Maftei, Concursul de ocupare a posturilor, 2009 217Subiectul III1. Proiectaţi unitatea de învăţare: ,,Progresii geometrice“, precizânddefiniţia unităţii de învăţare.2. Pentru tema ,,Şiruri monotone“, alcătuiţi un test formativ din treiitemi, menţionând definiţia testului formativ.3. Elaboraţi o propunere de opţional (Curriculum la decizia şcolii – C.D. Ş) în maximum o pagină, care să abordeze următoarele aspecte:a) titlul opţionalului;b) conţinutul opţionalului;c) argument care să motiveze propunerea opţionalului şi care să se referela unul dintre următoarele aspecte: nevoi ale elevilor, nevoi ale comunităţiilocale, formarea unor competenţe de transfer.Notă:• Toate subiectele sunt obligatorii.• Fiecăreia dintre cele trei probleme ale unui subiect i se va acorda 10puncte.• Se acordă 10 puncte din oficiu.• Timpul efectiv de lucru este de 4 ore.SoluţiiSubiectul I1. Dacă x, y, z este o soluţie a ecuaţiei din enunţ, rezultă că existăcel mai mare număr natural k cu proprietatea că 2 k divide pe x, y, z. Deciexistă a, b, c ∈ N ∗ cu proprietatea că x =2 k a,y=2 k b,z=2 k c. Din alegereanumărului natural k rezultă că cel puţin unul dintre numerele naturale a, bşi c este număr impar. Înlocuind în ecuaţie obţinem:sau, după simplificare:2 2k a 2 +2 2k b 2 +2 2k c 2 =2 3k+1 abc, (1)a 2 + b 2 + c 2 =2 k+1 · abc. (2)Pentru ca (2) să aibă loc, este necesar ca unul dintre numerele a, b,c să fieparşi celelalte impare. În acest caz, membrul stâng al relaţiei (2)este de forma 4m + 2, iar membrul drept este de forma 4n (multiplu de 4).Contradicţie. În concluzie, rezultă că ecuaţia din enunţ nuaresoluţii numerenaturale nenule.Observaţie. Se observă că, utilizând aceeaşi idee, se poate demonstracă oricare ar fi a ∈ Z, ecuaţia x 2 + y 2 + z 2 =2axyz nu admite decât soluţiax = y = z =0.Comentariu. Problema a fost considerată dificilă de foarte mulţi candidaţi.Au existat puţini candidaţi care au rezolvat-o corect. Dificultatea a