GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

M. Olteanu, Asupra rafinării unor inegalităţi în tetraedru 199ca şi consecinţe a celor prezentate până acum,seobţin noi rafinări ale inegalităţiiEuler-Durrande,( )valabile în orice tetraedru [ABCD]:4R2a) 169 + r2 ≥ m 2 a + m2 b + m2 c + m2 d +16r2 ≥≥h 2 a +h2 b +h2 c +h2 d +16r2 ≥ 1 5 (h a+h b +h c +h d +4r) 2 ≥≥5 √ h a h b h c h d ≥5√16r 5 2 h 2 ah 2 b h2 ch 2 d ≥√≥ 20 5 4r 2 (h a h b h c h d ) 4(h a + h b ) 2 (h b + h c ) 2 (h c + h d ) 2 (h d + h a ) 2 ≥ 80r2 .( ) 4R2b) 169 + r2 ≥ m 2 a + m2 b + m2 c + m2 d +16r2 ≥≥h 2 a +h2 b +h2 c +h2 d +16r2 ≥ 1 5 (h a+h b +h c +h d +4r) 2 ≥≥5 √ h a h b h c h d ≥5 5 √16r 2 · h 2 ah 2 b h2 ch 2 d ≥√ √√√4r(h≥ 20 5 2 a h b h c h d ) 4[(h a + h b )(h a +h c )(h a +h d )(h b +h c )(h b +h d )(h c +h d )] 4 3≥ 80r 2 .c) 64 9 R2 ≥ m 2 a + m2 b + m2 c + m2 d ≥ h2 a + h2 b + h2 c + h2 d ≥≥ 1 4 (h a + h b + h c + h d ) 2 ≥h a h b h c h d≥ 16√ (ha + h b )(h b +h c )(h c +h d )(h d +h a ) ≥64r2 .≥d) 64 9 R2 ≥ m 2 a + m 2 b + m2 c + m 2 d ≥ h2 a + h 2 b + h2 c + h 2 d ≥≥ 1 4 (h a + h b + h c + h d ) 2 ≥≥ 16 ·h a h b h c h√ d(ha + h b )(h a +h c )(h a +h d )(h b +h c )(h b +h d )(h c +h d ) ≥64r2 .3( ) 4R 416R5. Menţionăm că prin majorările ≥ h a h b h c h d şi ≥33≥ h a + h b + h c + h d aplicate relaţiilor (21*), (22*), (23), (24), (25) şi (26),de la pag. 28 din [2] se obţin direct încadrări/rafinări ale inegalităţii Euler-Durrande, valabile în orice tetraedru [ABCD].6. Pentru propoziţia1egalităţile se ating numai dacă [ABCD] estetetraedru echifacial. Această condiţie rămâne valabilă şi pentru inegalităţile