GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

Soluţiile problemelor propuse 241unde:h(x) =ln ax 1 +a x 2 +...+a x n, x ≠0,neste convexă peintervalul(−∞, 0) şi concavă peintervalul(0,∞).Calculând derivatele g ′ şi g ′′ , avem succesiv:g ′ (x) = xh′ (x) − h(x), x ≠0;x 2g ′′ (x) = x2 [h ′ (x)+xh ′′ (x) − h ′ (x)] − 2x [xh ′ (x) − h(x)]=x 4= x2 h ′′ (x) − 2xh ′ (x)+2h(x), x ≠0.x 3Derivata numărătorului lui g ′′ (x) (care se poate defini şi în punctul x = 0) este egalăcu x 2 h (3) (x), pentru orice x ≠ 0, deoarece:[x 2 h ′′ (x)+2xh ′ (x)+2h(x) ] ′==x 2 h (3) (x)+2xh ′′ (x) − 2xh ′′ (x) − 2h ′ (x)+2h ′ (x)=x 2 h (3) , ∀ x ≠0.În continuare calculăm h (3) (x), oricare ar fi x ≠ 0. Avem succesiv:∑∑a x i ln a ih(x) =ln1≤i≤nna x i, ∀x≠0; h ′ (x)=1≤i≤n∑1≤i≤nunde numărul termenilor de forma a x i ln a i este Cn.1⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎝ ∑a x i ln 2 a i⎠ ⎝ ∑ ⎠ − ⎝ ∑h ′′ (x) =1≤i≤n=∑1≤i