GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

Soluţiile problemelor propuse 247Rezultă că un punct oarecare al dreptei MQ are coordonate de forma:( ((1 − u)α 1 − a ) (+ uα 1 − a )),ua,(1 − u)a ,γβpentru un anumit u ∈ R. Analog, punctele dreptelor NR şi PS au coordonate de forma:(((1 − v)a, va, (1 − v)γ 1 − a ) (+ vγ 1 − a )),αβrespectiv:(((1 − w)a, (1 − w)β 1 − a ) (+ wβ 1 − a ) ),wa ,αγpentru anumiţi v, w ∈ R.Să presupunem că dreptele MQ, NR şi PS sunt concurente: aceasta revine laexistenţa unor numere reale u, v şi w pentru care coordonatele celor trei puncte genericede mai sus sunt respectiv egale. Aceasta conduce în primul rând la egalităţile (1 − v)a ==(1−w)a,ua = va şi (1 − u)a = va, care obligă lau=v=w= 1 . Egalând atunci2abscisele primelor două puncte obţinem:1(22 α − a γ − a )= 1 β 2 a ⇒ a α + a β + a γ =2,adică egalitatea de la punctul 3).( Reciproc, dacă această egalitate are loc, se verifică fără probleme că punctula2 , b 2 2), c aparţine tuturor celor trei drepte (coordonatele sale se obţin luând pe fiecaredintre u, v, w egal cu 1 şi folosind egalitatea menţionată). Sevededinceledemaisus2că, dacă dreptele MQ, NR şi PS sunt concurente, atunci ele neapărat se intersectează încentrul cubului.Să ne ocupăm acum de echivalenţa afirmaţiilor 2) şi 3). Sferele despre care este vorbala punctul 2) sunt, de fapt, sferele înscrise în tetraedrele AXY Z şi C ′ X ′ Y ′ Z ′ , unde puncteleX ′ , Y ′ , Z ′ reprezintă intersecţiile planului (XY Z) cu dreptele C ′ D ′ , C ′ B ′ , respectiv CC ′ .Un calcul simplu arată cărazarasfereiînscrise în tetradrul (tridreptunghic) AXY Zeste:r = 3V S = αβγαβ + αγ + βγ + √ α 2 β 2 + α 2 γ 2 + β 2 γ 2(αβ + αγ + βγ + √ )α 2 β 2 + α 2 γ 2 + β 2 γ 2(V = αβγ şi S =reprezintă volumul şi aria62totală pentru acest tetraeddru). Desigur, r ′ ,razasfereiînscrise în C ′ X ′ Y ′ Z ′ ,vafidatădeaceeaşi formulăîn care α, β, γ se înlocuiesc cu α ′ = ( C ′ ( X ′ , β ′ = C ′ Y ′ , respectiv γ ′ = C ′ Z ′ .Punctul X ′ , de exemplu, are coordonatele α 1 − a β − a ) ),a,a (careseobţinγluând în considerare că X ′ aparţine planului (XY Z)şi dreptei C ′ D ′ ). Atunci se calculeazăimediat:(α ′ = a − α 1 − a β − a )= kα,γunde:k = a α + a β + a γ − 1.Analog calculăm β ′ = kβ şi γ ′ = kγ; aplicând formula de mai sus pentru r ′ găsimatunci că r ′ = kγ.Astfel vedem că: