GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

V. Pop, Metoda etichetării binare în probleme de combinatorică 177face pe componente după regula0⊕0=1⊕1=0şi 0 ⊕ 1=1⊕0=1(numită uneori şi sumă nim).Arătăm că orice poziţie câştigătoare (pentru jucătorul care urmează lamutare) este orice poziţie în care suma nim N 1 ⊕N 2 ⊕...⊕N n ≠(0,0,...,0)în {0, 1} k şi vom descrie strategia de joc prin care se câştigă. Strategiacâştigătorului este de a lua atâtea pietre dintr-o anumită grămadă astfel casuma nim pe care o lasă pemasăsăfie(0,0,...,0). Într-o astfel de stare,celălalt jucător nu poate evita să-i lase primului tot o situaţie câştigătoare.Avem de demonstrat două lucruri:1) Dintr-o poziţie în care suma nim este (0, 0,...,0), prin orice mutarese ajunge la o stare în care suma nim este diferită de(0,0,...,0).2) Dintr-o poziţie în care suma nim este diferită de(0,0,...,0) putemgăsi o grămadă din care luăm un număr (bine gândit) de pietre ca să ajungemlaopoziţie cu suma nim (0, 0,...,0).Pentru 1) să observăm că dacă grupăm în fiecare grămadă pietrele conformscrierii în baza 2 (de exemplu dacă N i =13=2 3 +2 2 + 1 avem treigrupe: una cu o piatră, una cu 4 pietre şi una cu 8 pietre), atunci sumanim egală cu(0,0,...,0) semnifică faptulcăavemîn toate cele n grămezinumăr par de grupe de 1, număr par de grupe de 2,..., număr par de grupe de2 k−1 pietre. Luând pietre dintr-o singură grămadă desfiinţăm câte o singurăgrămadă de fiecare tip care intrăîn exprimarea numărului de pietre ridicate(de exemplu dacă ridicăm 6 = 2 + 2 2 pietre, desfiinţăm o grupă de2şi ogrupă de4rămânând aceste grupe în număr impar) şi rămân unele grupeimpare deci suma nim nenulă.Pentru 2) să notăm cu S =(ε 1 ,ε 2 ,...,ε k ) ≠(0,0,...,0) suma nim anumerelor N 1 ,N 2 ,...,N n :S =N 1 ⊕N 2 ⊕...⊕N nşi considerăm sumele nim:M 1 = N 1 ⊕ S, M 2 = N 2 ⊕ S,..., M n =N n ⊕S,din care alegem pe cea care rescrisă canumăr în baza 2 este cea mai mică.Dacă aceastaesteM i =N i ⊕Satunci M i