GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

220 Examene şi concursuri2. Problema în sine prezintă un anumit interes, motiv pentru care ovom soluţiona prin mai multe metode.Metoda 1. Vom studia maximul funcţiei[f : 0, π ]→ R, f (x) =sin 3 xcos 5 x2cu ajutorul derivatei de ordinul întâi.Prin derivare se obţine f ′ (x) = sin 2 xcos 4 x ( 3 − 8sin 2 x ) . Alcătuimurmătorul tabel de variaţie al funcţiei:√6πx 0 arcsin42f ′ (x) 0 + + +(0 − − − 0√ )6f(x) 0 ↗↗↗ f arcsin4 ↘↘↘ 0MaxCalculăm:( √ ) [ ( √ )] 3 [ ( √ )] 5666f arcsin = sin arcsin · cos arcsin =444(√ ) 3 (√ ) 56=1 − 3 = 75√ 1548 4096 .În concluzie, valoarea maximă afuncţiei este egală cu 75√ 154096 .Metoda 2. Funcţia se mai poate scrie sub forma:f(x) = ( sin 2 x ) 32 · (cos 2 x ) 5 2.Notând cos 2 x = y şi sin 2 x =1−y,obţinem o funcţie g :[0,1] → R,g(y) =(1−y) 3 2 ·y 5 2.Derivând în raport cu y obţinem:⎡⎤g ′ (y) =(1−y) 1 32 ·y 2 ⎣− 3 52 y −3 22+ 5 2 (1 − y) 3 2 − 1 2 ⎦ =(1−y) 1 32 ·y 2 ·5−8y.2Facem tabelul de variaţie pentru funcţia g şi obţinem:5y 018g ′ (y) + + + 0)− − − 0( 5g(y) 0 ↗↗↗ g 8Max( ( 35 3 2Calculăm g = ·8)8)( 58)52=75 √ 154096 .↘↘↘ 0