GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

236 ProblemeDacă im(αu a + βu b ) n−1 ≠ {0}, atunci rezultă proprietatea (ii). În caz contrar,conchidem că (αu a + βu b ) n−1 =0. În această situaţie este clar că procedând recursivdescendent vom ajunge la un moment dat la indicele de nilpotenţă k al endomorfismuluiαu a + βu b şi deci, pentru acest k, im(αu a + βu b ) k−1 ≠ {o}, iar im(αu a + βu b ) k−1 ⊆⊆ ker (αu a + βu b ), ceea ce demonstrează afirmaţia (ii).(ii)⇒(iii). Plecând de la premiza (ii), există p(x) ∈ V astfel încât:(αu a + βu b )(p(x)) = 0, ∀ x ∈ C,ceea ce este echivalent cu faptul că:αp(x + a)+βp(x + b) =0, ∀x∈C.Să presupunem că gradp = k ≤ n − 1. Atunci p se poate scrie sub forma:p(x) =a 0x k +q(x),cu a 0 ≠0şi gradq ≤ k − 1. Urmează deci că:αp(x+a)+βp(x+b) =αa 0(x+a) k +αq(x+a)+βa 0(x+b) k +βq(x+b) =a 0(α+β)x k +r(x),unde gradr ≤ k − 1. Însă, după cum am presupus mai înainte, polinomul din membrulstâng este polinomul identic nul, aşa încât rezultă cu necesitate că a 0(α + β) =0. Cumînsă a 0 ≠ 0, conchidem că α + β =0.(iii)⇒(i). Dacă α = β = 0, implicaţia este trivială. În caz contrar, egalitatea (i) esteechivalentă cu egalitatea:(u a − u b ) n =0.Evident, pentru a proba egalitatea de mai sus este suficient să arătăm că:(u a − u b ) n (e k (x)) = 0,pentru polinoamele e k din baza canonică. Să observăm că:(u a − u b ) n (e 0(x)) = 0.Mai departe:(u a − u b ) 2 (e 1(x)) = (u a − u b )(e 1(x+a)−e 1(x+b)) ==(u a−u b )((a−b)e 0(x)) = (a − b)(u a −u b )(e 0(x)) = 0.Să presupunem că:(u a − u b ) i (e i−1(x)) = 0, (1)pentru orice i ∈{1,...,k} şi să arătăm că de aici decurge faptul că:(u a − u b ) k+1 (e k (x)) = 0. (2)Pentru aceasta, să observăm că:(u a − u b )(e k (x)) = (x + a) k − (x + b) k = α 1e k−1 (x)+...+α k e 0(x)şi deci:(u a − u b ) k+1 (e k (x)) = (u a − u b ) k ((u a − u b )(e k (x))) ==(u a−u b ) k (α 1e k−1 (x)+...+α k e 0(x)) == α 1 (u a − u b ) k (e k−1 (x)) + ...+α k (u a −u b ) k (e 0(x)) = 0,ultima egalitate fiind justificată de ipotezele (1) făcute. Rezultă, prin recurenţă, afirmaţia(2). Evident atunci că endomorfismul (u a − u b ) n se anulează pe baza canonică aluiVşi, după cum observam mai la început, aceasta este suficient pentru ca afirmaţia (i) să fieadevărată.