GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

V. Pop, Metoda etichetării binare în probleme de combinatorică 179Vom arăta că ⋃ A i = ⋃ A j .i∈Ij∈JFie a k în reuniunea din stânga. Dacă a k ∈ A i atunci x ik =1,α i x ik > 0şi din y k ≥ α i x ik rezultă y k ≠0. Ţinând cont de egalitatea:∑(−α j )v j =(y 1 ,...,y k ,...,y n )j∈Jrezultă că există unv j cu:(v j )x jk ≠0⇔x jk ≠0⇔a k ∈A jşi am arătat o incluziune (cealaltă este simetrică).Observaţie. Numărul m = n + 1 este cel mai mic număr de mulţimicu această proprietate după cum rezultă din exemplul:A 1 = {a 1 }, A 2 = {a 2 },...,A n ={a n } şi ⋃ A i ≠ ⋃ A j .6. Considerăm mulţimile B i = A i = A \ A i , i = 1,m. Cel puţin m − 1din ele sunt nevide şi cum m − 1 >n, conform problemei 5, rezultă că existăI, J disjuncte astfel ca:⋃B i = ⋃ B j ⇔ ⋃ B i = ⋃ B j ⇔ ⋂ A i = ⋂ A j .i∈I j∈J i∈I j∈JNumărul m = n + 2 este cel mai mic cu proprietatea din enunţ, dupăcum rezultă din exemplul:A 1 = {a 1 }, A 2 = {a 2 },...,A n ={a n }, A n+1 = {a 1 ,a 2 ,...,a n }.7. Fie A = {a 1 ,a 2 ,...,a n } şi notăm cu L i ∈{0,1} n vectorul caracteristical mulţimii B i (L i = (α 1 ,α 2 ,...,α n ); α j = 1 dacă a j ∈ B i şiα j =0dacăa j ∉ B i ). Notăm cu M ∈M m,n ({0, 1}) matricea cu liniileL 1 ,L 2 ,...,L m .Condiţia din problemă spune că pentru orice i, j ∈ {1,2,...,n} cui ≠ j, există o linie L k astfel ca pe poziţiile i şi j să avem1. Faptulcăaceastă linie este unicăînseamnă că produsul (scalar) al coloanelor C i şi C jeste 1. Astfel se sugerează ideea de a considera matricea M t · M ∈M n (N)pentru care M t · M = P =[p ij ] i,j=1,nunde p ij = C i C j (produsul coloanelorC i şi C j ). Conform observaţiei făcute p ij = 1, oricare ar fi i ≠ j şi p ii ≥ 1,i = 1,n. Arătăm că p ii ≥ 2, i = 1,n. Dacă am avea un p ii = 1, arînsemna că pe coloana C i avem un singur element nenul, deci un anumitelement a j se găseşte într-o singură mulţime B k ; atunci, din condiţia datăpentru orice alt element a j1 , existăomulţime care conţine pe a j şi pe a j1 , deciaceastă mulţime este B k ;în concluzie B k ar conţine toate elementele din A,încontradicţie cu faptul că B k este submulţime proprie. Astfel M t · M = D + Junde D este o matrice diagonală cu elementele diagonalei strict pozitive şi J