GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

180 Articoleeste matricea cu toate elementele egale cu 1. Se arată uşor că determinantulmatricei M t · M este strict pozitiv (mai mult matricea este pozitiv definită:n∑n∑n∑n∑p ij x i x j = d i x 2 i + x i x j = d i x 2 i +(x 1+...+x n ) 2 ,i,j=1i=1i,j=1unde d i > 0, i = 1,n).În concluzie, rangM t · M = n, deci rangM ≥ n şi deoarece rangM ≤ mrezultă m ≥ n.8. Considerăm matricea M ∈ M m,n ({0, 1}) care are pe liniileL 1 ,L 2 ,...,L n vectorii caracteristici ai mulţimilor B 1 ,B 2 ,...,B m şi notăm cuG matricea pătratică G = M·M t ∈M m (R). Elementele sale sunt g ij = L i·L j(produsul (scalar) al liniilor L i şi L j )şi se observăcăg ij = |B i ∩B j | = k, undei ≠ j şi evident g ii = |B i |≥k,i=1,n. Dacă notăm g ii = k + b i , i = 1,n,arătăm că unsingurb i poate fi 0, iar ceilalţi sunt strict pozitivi: dacă prinabsurd b 1 = b 2 = 0 atunci B 1 şi B 2 au fiecare câte k elemente şi, doareceB 1 ≠ B 2 , rezultă căB 1 ∩B 2 are mai puţin de k elemente (contradicţie).Determinantul matricei G este:∣ k + b 1 k k ... k ∣∣∣∣∣∣∣∣∣k k +b 2 k ... k∆ m =k k k +b 3 ... k... ... ... ... ...∣ k k k ... k+b ncare verifică relaţia de recurenţă ∆ m =k·b 1·b 2·...·b n−1 +b n ∆ n−1 şi, înfinal:⎛⎞m∏∆ m = b k + k ⎝ ∏ b k + ∏ b k + ...+ ∏ b k⎠>0,k=1k≠1 k≠2k≠ndeci matricea G = M ·M t are rangul m şi cum rangM ≥ rangG şi rangM ≤ nobţinem n ≥ m.9. Vom trece de la numere întregi la clase de resturi modulo 2. Numerelepare se înlocuiesc cu ̂0 şi cele impare cu ̂1 ca elemente ale corpului Z 2 .Problema cere să arătăm că există liniile L i1 ,L i2 ,...,L ik cu suma:̂L i1 + ̂L i2 + ...+ ̂L ik =(̂0,̂0,...,̂0).Liniile pot fi privite ca elemente ale spaţiului vectorial Z n 2 care estespaţiu vectorial de dimensiune n peste corpul Z 2 . Deoarece m>n, liniilesunt liniar dependente, deci există scalariiα 1 ,α 2 ,...,α m ∈{̂0,̂1}astfel ca:α 1 ̂L1 + α 2 ̂L2 + ...+α m̂Lm =(̂0,̂0,...,̂0).Dacă în relaţia de mai sus nu scriem coeficienţii ̂0 şi rămân doarα i1 = α i2 = ...=α ik =̂1obţinem:̂L i1 + ̂L i2 + ...+ ̂L ik =(̂0,̂0,...,̂0).i=1