GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

M. Olteanu, Asupra rafinării unor inegalităţi în tetraedru 203w) AX4km n a+ BX4km n b+ CX4km n c≥34k+n·41−n·r4k+ DX4km n d≥ 2 2−n ·3 4k+ n 2 ·r 4k ( R 2 +3r 2) − n 2R n, unde k ∈ N∗ , n ∈{0,1,2},X∈{O, G, H, Ω, Γ}.(x) AXnm 2 + BXna m 2 + CXnbm 2 + DXn Rc m 2 ≤ R n 2 +3r 2 ) 2·d24r 3 ≤ 1324 · R4+nr 6 ,unde n ∈{0,1,2},iarX∈{O, G, H, Ω, Γ}.y) AX + BX + CX + DX ≤ R ( R 2 +3r 2)r a r b r c r d 6r 3 ≤ 2 9· R3r 3 ,unde X ∈{O, G, H, Ω, Γ}.( )nz) hm am n + hm ba m n + hm cbm n + hm dc m n ≥ 2 2+2m−n · r m 3 2·≥( ) dR 2 +3r 23n≥4 1+m−n · r m · , ∀ m ∈{0}∪[1, ∞), n ∈{0,1,2}.Rα)8≤ m ar a+ m br b+ m cr cβ) 4≤ m ah a+ m bh b+ m ch c+ m d+ m d≤ 1r d 3 √ 3· 1 (R 2r 3 +3r 2)3 2(R 2 +3r 2)3 2h d≤6 √ 3r 3 ≤ 427 · R3r 3 .≤ 8 27 · R3r 3 .γ) 64r 2 ≤ ∑ m a h a ≤ 16 (R 2 +3r 2) ≤ 64 39 R2 .Dacă, în plus, tetraedrul ortocentric [ABCD] are ortocentrul H ∈∈ int(ABCD) semaipotrafinaşi rezultatele stabilite în [6] pag 22-23, [8]pag. 628-629 şi [2] pag. 57 problema 305.Avem aşadar:Propoziţia 5. În orice tetraedru ortocentric [ABCD] având ortocentrulH ∈ int(ABCD) au loc următoarele rafinări ale inegalităţii Euler-Durrande:( )na) rm am n + rm ba m n + rm cbm n + rm dc m n ≥ 2 2+m−n · r m 3 2·≥) dR 2 +3r 2n≥2 2+m−2n · r m · , ∀ m, n ∈{0}∪[1, ∞).( 3Rb) Sm Am n + Sm Ba m n + Sm Cbm n + Sm Dc m n d≥4 1−m−n·c)r m ah m a · m a( 3R( )n≥ 2 2−2m−n 3 2··S mR 2 +3r 2 ≥) n·S m ,∀m, n ∈{0}∪[1, ∞).+ rm bh m b · m b≥2 −m· 3 ,∀m∈{0}∪[1, ∞).R+ rm ch m c · m + rm dc h n d · m d( )1≥ 2 1−m 3 ·R 2 +3r 22≥≥