GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

M. Olteanu, Asupra rafinării unor inegalităţi în tetraedru 195[4] Z. Kasa, Combinatorică cu aplicai¸i, Capitolul 8, paginile 111 - 168,http://www.cs.ubbcluj.ro/∼kasa/combinatorica.html[5] ∗∗∗Algebraic Combinatorics on words ch. 1 şi 2 Lothaire 2001 Cambridge UniversityPress 2002 Lothaire’s page ( Jean Berstel )[6] K. A. Hedlund, Symbolic dynamics II : Sturmian sequences, Marsten Morse, AmericanJournal Math. 62 ( 1940 ) pages 1 - 42.[7] T. Noll, Sturmian sequences and morphisms : A Music - Theoretical application,Mathématiques et Musique, Société Mathématique de France 2008 - Journée annuellehttp://user.cs.tu-berlin.de/∼noll/SMF Noll.pdfAsupra rafinării unor inegalităţi geometrice în tetraedruMarius Olteanu 1)Abstract. In this paper we improve some geometric inequalities recordingimportant lines in the tetrahedron.Keywords: Durrande inequality, orthocentric tetrahedron.MSC : 26D15Prezentul articol are drept scop prezentarea într-un cadru unitar, a unornoi rafinări ale câtorva inegalităţi de bază din geometria tetraedrului. Pentruînceput se vor stabili noi rezultate valabile într-un tetraedru oarecare, dupăcare vor fi evidenţiate, pentru clasa tetraedrelor ortocentrice şi echifaciale noiîntăriri ale rafinărilor inegalităţii Euler-Durrande (R ≥ 3r) stabilite pentrucazul general al tetraedrelor oarecare şi menţionate în [7] pag. 471 – 478, [8]pag. 625 – 630, [9] pag. 200 – 208, [10] pag. 98 – 108.Vom utiliza următoarele notaţii referitoare la elementele unui tetraedruoarecare [ABCD]: V −volumul său, S A −aria feţei (BCD) (analog S B , S C ,S D ), S = S A + S B + S C + S D , a = BC, b = AC, c = AB, l = AD, m = BD,n = CD, r a −raza sferei exînscrise de speţa întâi care este tangentă feţei(BCD) (analog r b , r c , r d ), h a , m a −lungimea înălţimii, respectiv a medianeitetraedrului ce conţine vârful A (analog h b , h c , h d şi m b , m c , m d ), r A , R A −raza cercului înscris respectiv circumscris triunghiului (feţei) BCD (analogr B , r C , r D şi R B , R C , R D ), d 1 , d 2 , d 3 − lungimile perpendicularelor comunecorespunzătare celor trei perechi de muchii opuse, b 1 , b 2 , b 3 − lungimile celortrei bimediane, r, R− razele sferei înscrise, respectiv circumscrise tetraedrului,I−centrul sferei înscrise, O− centrul sferei circumscrise, G−centrulde greutate al tetraedrului, H−ortocentrul tetraedrului ortocentric [ABCD],Ω−centrul sferei lui Euler asociată tetraedrului, iar Γ− simetricul punctuluiΩfaţă de centrul de greutate G.Lemă. Fie x, y, z, t ∈ R+. ∗ Atunci au loc inegalităţile:3a) x + y + z +1x + 1 y + 1 ≥ 4 3√ xyz;z1) S. C. Hidroconstrucţia S.A. Bucureşti, Sucursala ,,Olt-Superior“ din Râmnicu-Vâlcea