GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

Soluţiile problemelor propuse 245Dreapta MQ este intersecţia planelor (A ′ B ′ CD) şi (XY Z), deci ecuaţiile drepteiMQ sunt:{ y + z = aMQ : xα + y β + z γ =1,analog:{ x +y = aNR : xα + y β + z γ =1,{ x+z = aPS : xα + y β + z γ =1.Dreptele MQ, NR şi PS sunt concurente dacă şi numai dacă sistemul format dinecuaţiile lor este compatibil determinat.Aceste sistem este:y + z = a⎧⎪ ⎨ x + y = ax + z = a⎪ x ⎩α + y β + z γ =1.Subsistemul format din primele trei ecuaţii are soluţia x = y = z = a , care introdusă2în a patra ecuaţienedărelaţia:1α + 1 β + 1 γ = 2 a .Deci 1) ⇔ 3).Centrul sferei înscrisăîn triedrul cu vârful în A este punctul Ω 1 (ω 1,ω 1,ω 1)şi distanţade la Ω 1 la planul (XY Z)esteω 1= raza sferei. Avem deci:∣ ∣∣∣∣ ω1α + ω1β + ω1γ − 1 √ 1α + 12 β + 1 = ω 1.2 γ 2Ω 1 şi A fiind de aceeaşi parte a planului (XY Z)avem:( ) (ω1signα + ω1β + ω10γ − 1 = signα + 0 β + 0 )γ − 1 = −1.Rezultă:( 11 − ω 1α + 1 β + 1 ) √1= ω 1γ α + 12 β + 12 γ ⇔ 21⇔ ω 1 =1α + 1 β + 1 √ 1γ + α + 12 β + 1 .2 γ 2Centrul sferei înscrisăîn triedrul cu vârful în C ′ este Ω 2 (ω 2,ω 2,ω 2)şi:d(Ω 2,(XY Z)) = a − ω 2 = raza sferei,adică: ∣ ∣∣∣ ω 2α + ω2β + ω2γ − 1 ∣ ∣∣∣√ 1α 2 + 1 β 2 + 1γ 2 = a − ω 2