GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

3) 1 α + 1 β + 1 γ = 2 a . Daniel Văcăreţu244 ProblemeAvem:12n∑S n = − π tgkπ ( )tg2n +1 tg (k +1)π π− tg2n+1 2n +1 =k=12n +112n∑(=− π tgkπ)(k +1)π−tgtg2n +1 2n+1 +tg π=2n+1k=12n +1()1ππ=− π tg −tgπ +2ntg =−(2n +1).tg2n +1 2n +12n +1Dezvoltând S n (în formă originală!) se constată că ultimul său termen este 0. Dintrecei 2n−1 termeni nenuli ai sumei, cel mijlociu este tgnπ (n +1)π nπtg2n +1 2n+1 =−tg2 2n +1 ,iarîn ceea ce priveşte ceilalţi termeni nenuli, efectuând reducerile la primul cadran se constatăcă ultimul termen coincide cu primul, penultimul cu cel de al doilea ş.a.m.d. În concluzieavem:n−1∑−(2n +1)=S n =2 tgkπ (k +1)π nπtg2n +1 2n+1 −tg2 2n +1 ≥deci:k=1(n − 1)π≥2tg2n +1 tg nπ nπ2n +1 −tg2 2n +1 ,tgnπ (tgnπ)(n − 1)π−2tg ≥2n+1⇔2n +1 2n +1 2n +1⇔tgnπ((n − 1)ππ−2tg2n +1 2n +1 ≥(2n + 1)tg 2 − nπ )⇔2n +1⇔tgnπ2n +1−2tg(n − 1)π2n +1πtg≥ 2(2n +1)π2(2n +1)· π2 > π 2 .268. Fie cubul [ABCDA ′ B ′ C ′ D ′ ] de muchie a şi punctele X ∈ (AB, Y ∈ (AD şiZ ∈ (AA ′ astfel încât AX = α, AY = β, AZ = γ, unde α, β, γ > a şi:1α + 1 β > 1 a , 1β + 1 γ > 1 a , 1γ + 1 α > 1 a .Planul (XY Z) împarte cubul în două corpuri [C 1] şi [C 2] şi intersectează muchiile(A ′ B ′ ), (BB ′ ), (BC), (CD), (DD ′ ) şi (D ′ A ′ ) în punctele M, N, P , Q, R, S.Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:1) Dreptele MQ, NR şi PS sunt concurente.2) Sferele situate în interiorul corpurilor [C 1] şi [C 2], tangente planului (XY Z) şifeţelor triedrelor tridreptunghice cu vârfurile în A, respectiv C ′ ,aurazeegale.Soluţia autorului. 1)⇔3) Considerăm reperul cu originea în A şi semidreptele(AB, (AD, (AA ′ în calitate de semiaxe Ox, Oy, Oz. Planul(XY Z) are ecuaţia:xα + y β + z γ =1.