GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

198 Articoleb) 5 4r ≥ 1 h a+ 1 h b+ 1 h c+ 1 h d+4h a + h b + h c + h d≥54√ha h b h c h d≥5≥ √ ≥ 154 ma m b m c m d 4R .( ) 4Rc) 43 + r ≥ m a + m b + m c + m d +4r≥h a +h b +h c +h d +4r≥≥5 4√ h a h b h c h d ≥5 5√ 4h a h b h c h d r≥≥10· √(h 5a h b h c h d ) 22 · r ·[(h a + h b )(h a +h c )(h a +h d )(h b +h c )(h b +h d )(h c +h d )] 2 3d) 16R3≥ m a + m b + m c + m d ≥ h a + h b + h c + h d ≥≥ 20r.√ha h b h c h d≥ 8 √(ha + h b )(h b +h c )(h c +h d )(h d +h a ) ≥16r.4e) 16R3≥ m a + m b + m c + m d ≥ h a + h b + h c + h d ≥√ha h b h c h d≥ 8 √(ha + h b )(h a +h c )(h a +h d )(h b +h c )(h b +h d )(h c +h d ) ≥16r.63. Având în vedere inegalităţile c) şi d) ale propoziţiei 2, pag. 31 din[2] mai putem încă rafina inegalitatea b) a propoziţiei 1 din acest articol,obţinând următoarele şiruri de inegalităţi:i) r a + r b + r c + r d +2r≥5 4√ r a r b r c r d ≥5 5√ 2r a r b r c r d·r≥(h≥5√2r·5 a h b h c h d ) 2(h a +h b )(h b +h c )(h c +h d )(h d +h a ) ≥10r.ii) r a + r b + r c + r d +2r≥5 4√ r a r b r c r d ≥5 5√ 2r a r b r c r d·r≥≥5 5 √ √√√2r·(h a h b h c h d ) 2[(h a + h b )(h a +h c )(h a +h d )(h b +h c )(h b +h d )(h c +h d )] 2 3≥ 10r.şi:4. Deoarece:649 R2 ≥ m 2 a + m 2 b + m2 c + m 2 d ≥ h2 a + h 2 b + h2 c + h 2 d ,h 2 a + h 2 b + h2 c + h 2 d +16r2 ≥ (h a+h b +h c +h d +4r) 2r 2 a + r2 b + r c + r 2 d +4r2 ≥ 1 5 (r a+r b +r c +r d +2r) 2 ,5