GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

222 Examene şi concursuri=[ (x1a 1) a 1a·(x2a 2) a 2a=a a 11 ·aa 22 ·...·aan n ·])an axn a a 1· ...·(·aa1 ·a2 ·...·a an a n =a n[ (x1 ) a 1 ) ]a x2·( a 2 )an aa xn a·...·(≤a 1 a 2 a n(≤a a 11 ·aa 22 ·...·aan n ·a1a · x1 + a 2a 1 a · x2 +...+ a ) ana 2 a · xn =a n( )=a a 11 ·aa 2x1 +x 2 +...+x an2 ·...·aan n ·=a=a a 111 ·aa 22 ·...·aan n ·a a (x 1 +x 2 +...+x n ) a . (1)Egalitatea are loc când x 1= x 2= ...= x n.a 1 a 2 a nCorolar. Dacă x 1 + x 2 + ...+x n =1,înlocuind în inegalitatea (1) dinteoremă, obţinem:x a 11 · xa 22 · ...·xan n ≤ 1 a a ·aa 11 ·aa 22 ·...·aan n . (2)a 2aAvem egalitate pentru x i = a iaoricare ar fi i ∈{1,2,...,n}.Dacă în (2) considerăm x 1 =sin 2 x,x 2 =cos 2 x,a 1 = 3 2 ,a 2 = 5a = a 2şi1 + a 2 = 4, vom obţine:(sin 2 x ) 32 · (cos 2 x ) 5 2=sin 3 x·cos 5 x ≤ 1 ( ( 34 2)34 ·2 5 2 75 · =2)5 √ 154096 .Observaţie. Problema poate fi abordată la cazul general:Să se determine valoarea maximă afuncţiei :[f : 0, π ]→ R, f (x)=sin p x·cos q x, p, q ∈ N.2Aplicăm corolarul pentru cazul când a 1 = p 2 , a 2 = q 2 , a = a 1 + a 2 == p + q , n =2şi obţinem:21f max = ( m + n2) p+q2( p(2 q 2· · .2)p2)qComentarii. Marea majoritate a concurenţilor (candidaţilor) au abordatproblema folosind prima metodă. O parte dintre ei au fost depunctaţideoarece nu au făcut √tabelul de variaţie al funcţiei f , de unde rezulta cu6uşurinţă x =arcsin ca punct de maxim.4