GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

218 Examene şi concursuriconstat în faptul că puţini concurenţi au dovedit că ştiu să lucreze corect cuclasele de resturi modulo n.2. Notând cu G centrul de greutate al triunghiului ABC şi cu G ′ centrulde greutate al triunghiului A ′ B ′ C ′ avem:−→ −−→S = AA ′ + −−→AB ′ + −−→AC ′ + BA −−→ ′ + −−→BB ′ + −−→BC ′ + −−→CA ′ + −−→CB ′ + CC −−→ ′ =( −→ −−→= AG + GG ′ + −−→ ) ( −→G ′ A ′ −−→+ AG + GG ′ + −−→ ) ( −→G ′ B ′ −−→+ AG + GG ′ + −−→ ) G ′ C ′ +( −→ −−→+ BG + GG ′ + −−→ ) ( −→G ′ A ′ −−→+ BG + GG ′ + −−→)( −→G ′ B ′ −−→+ BG + GG ′ + −−→ ) G ′ C ′ ++( −→ CG +−−→=3( −→ CG +−−→GG ′ + −−→ ) G ′ A ′ +( −→ −→ −→)AG + BG + CG +3( −→ CG +−−→GG ′ + −−→G ′ C ′ ) =GG ′ + −−→G ′ B ′) +( −−→G ′ A ′ + −−→G ′ B ′ + −−→G ′ C ′) +9GG −−→ ′ .Ţinând seama că −→ AG + −→ −→ −→ −−→BG + CG = 0 şi G ′ A ′ + −−→ G ′ B ′ + −−→ G ′ C ′ = −→ 0,obţinem −→ S =9 −−→ GG ′ .În particular, când G ≡ G ′ ,obţinem −→ S = −→ 0.Comentariu. Problema nu a pus dificultăţi candidaţilor; mare partedin ei au rezolvat-o cu destul de multă uşurinţă.3. a) Fie A şi B evenimente cu P (A) ≠ 0. Atunci, probabilitatea ca săaibă loc evenimentul B în condiţiile în care a avut loc evenimentul A este datăde formula P A (B) = P(A∩B) şi se numeşte probabilitatea condiţionată aP(A)evenimentului B în raport cu evenimentul A.b) Prin definiţie probabilitatea căutată este:nr. cazuri favorabilep n =nr. cazuri posibile . (1)Numărul de cazuri posibile este egal cu Cn. 4 (2)Să calculăm numărul de cazuri favorabile.Fie a primul termen şi r raţia progresiei aritmetice; atunci progresiaeste de forma ÷a, a + r, a +2r, a +3r,cu:a≥1 şi a +3r≤n. (3)Din (2) va rezulta:1+3r≤a+3r≤n⇒1+3r≤n⇒r≤ n−13{ [ n−1şi din faptul că r ∈ N ∗ , rezultă căr∈ 1,2,3,...,3Deducem că numărul de cazuri favorabile este:[ ][ n−1 n−1[∑n−13][ ] n−1 3 3(n − 3r) =n −332r=1]}.]+1. (4)