GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

Soluţiile problemelor propuse 237265. Fie (x n) n≥1un şir de numere pozitive care converge la 0 astfel încât:∞∑x n = ∞.n=1Atunci există unsubşir (x nk ) k≥1al lui (x n) n≥1astfel ca:∞∑x nk = ∞k=1Soluţia autorului. Pentru m ≥ 1notăm:{A m = n :şi∞∑x 2 n k< ∞.k=11m +1 ≤xn < 1 m},George Stoicaşi fie ( A mj)j≥1 subşirul format din mulţimile nevide ale lui (Am) m≥1 .Dacă:∞∑ 1= ∞,m jj=1atunci construim subşirul (x nk ) k≥1alegând câteunelementdinfiecareA mj .Dacă:∞∑ 1< ∞,m jj=1construim subşirul (x nk ) k≥1alegând min { }m j, cardA mj elemente din fiecare Amj (card∞∑înseamnă cardinalul mulţimii respective). Se observă uşor că x nk = ∞ şi apoi că:k=1j=1m 2 jj=1k=1∞∑∞∑x 2 min { }m j, cardA mj∞∑ 1n k≤≤ ,m jadică proprietatea din enunţ.Soluţie dată de Marian Tetiva, profesor la Colegiul Naţional Gheorghe Roşca-Codreanu din Bârlad. Săîncepem cu următoarea:Lemă. Dacă (x n) n≥1este un şir de numere reale pozitive, convergent la zero şi∞∑pentru care x n = ∞, iarmşi N sunt numere naturale nenule, atunci există numerelen=1naturale q şi p, q>p≥N,astfelîncât:q∑x k ≥ 1 q∑m şi x 2 k < 2 m . 2n=pn=pDemonstraţie. Deoarece (x n) are limita 0, există M ∈ N ∗ astfel încât x n < 1 mpentru orice n ≥ M;în particular avem şi x n < 1 , pentru orice n ≥ p : = max{M,N}. Pem∞∑de altă parte ipoteza implică, evident, şi faptul că x n = ∞, de aceea trebuie ca la unmoment dat o sumăs∑n=pn=px n să fie≥ 1 . Săalegempeqca fiind indicele unde se producem