GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

V. Pop, Metoda etichetării binare în probleme de combinatorică 1757. Fie m, n numere naturale nenule, A omulţime cu n elemente şiB 1 ,B 2 ,...,B m submulţimi proprii, nevide şi distincte, din A. Se ştie căpentru orice două elemente distincte din A există o singură mulţime B i carele conţine pe ambele. Să searatecăm≥n.8. Fie m, n numere naturale nenule, A o mulţime cu n elementeşi B 1 ,B 2 ,...,B m submulţimi nevide şi distincte din A. Se ştie că existăk ∈{1,...,n−1} astfel ca |B i ∩ B j | = k, oricarearfii, j = 1,n, i ≠ j.Săse arate că m ≤ n.9. Fie A ∈ M m,n (Z) omatricecum > n. Săsearatecă existăk ∈{1,2,...,m} şi k linii distincte L i1 ,L i2 ,...,L ik astfel ca suma L i1 ++L i2 + ...+L ik săaibătoatecelencomponente numere pare.10. Fie m, n numere naturale cu m > n > 1, A o mulţime cu nelemente şi A 1 ,A 2 ,...,A m submulţimi nevide, distincte ale lui A.Să searatecă există indici distincţi i 1 ,i 2 ,...,i k ∈{1,2,...,m} astfelca A i1 ∆A i2 ∆ ...∆A ik = ∅, unde am notat cu X∆Y =(X∪Y)\(X∩Y),diferenţa simetrică amulţimilor X şi Y .11. Fie m, n numere naturale nenule, A omulţime cu n elemente şiB 1 ,B 2 ,...,B n submulţimi nevide şi distincte din A astfel ca fiecare mulţimeB i , i = 1,n, să conţină unnumăr impar de elemente şi pentru orice i ≠ jmulţimea B i ∩ B j conţine un număr par de elemente. Să searatecăm≤n.Soluţii la problemele alese1. Mai întâi observăm că oricesumă cuprinsăîntre 1 şi 1000 lei (chiarpână la 1023 lei) poate fi reprezentatăîn scrierea binară folosind cel mult 10cifre:S = ε 1 · 1+ε 2·2+ε 3·2 2 +...+ε 10 · 2 9unde ε 1 ,ε 2 ,...,ε 10 ∈{0,1}. Dacă am introduce în cele 10 plicuri câte 1 leu, 2lei, 2 2 = 4 lei, 2 3 = 8 lei,..., 2 9 = 512 lei, atunci, pentru a da suma S, alegemplicurile pentru care ε i =1,i=1,10. Observăm că în acest mod am aveanevoie de 1023 lei. Corecţia o facem astfel: în primele 9 plicuri introducempe rând 1 leu, 2 lei, 2 2 lei,..., 2 8 = 256 lei, iar în ultimul plic restul baniloradică 489 lei.Dacă salariatul cere o sumă maimică decât 512 lei aceasta poate fidată folosind doar plicuri din primele 9 (orice număr mai mic ca 512 are înreprezentarea în baza doi cel mult 9 cifre). Dacă salariatul cere mai mult de511 lei atunci îi dăm mai întâi ultimul plic (cu 489 lei) şi apoi suma rămasă(mai mică ca 512 lei) poate fi acoperită folosind primele 9 plicuri.2. Etichetăm sticlele cu numerele 1, 2,...,1000 scrise în baza 2, decifiecare sticlă va avea un cod de 10 cifre din mulţimea {0, 1}, (c 1 ,c 2 ,...,c 10 )în loc de k = c 1 · 1+c 2·2+c 3·2 2 +...+c 10 · 2 9 .Primul condamnat bea din sticlele în care c 1 = 1 (toate sticlele cunumăr impar), al doilea din cele cu c 2 = 1, . . . , al zecelea din cele încare c 10 = 1 (fiecare bea cam din jumătate din sticle). Dacă după cele 10