GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

240 Problemepentru orice x>0, este logaritmic concavă peintervalul(0,∞).Soluţie. Vom rezolva problema în trei paşi.Pasul 1. În primul rând vom arăta că are loc identitatea:(x−y) 2 (x+y−2z)+(y−z) 2 (y+z−2x)+(z−x) 2 (z+x−2y) =(2x−y−z)(2y−z−x)(2z−x−y),∀ x, y, z ∈ R.Pentru stabilirea acestei identităţi notăm:P (x, y, z) =(x−y) 2 (x+y−2z)+(y−z) 2 (y+z−2x)+(z−x) 2 (z+x−2y), ∀x, y, z ∈ R,şi observăm că:şi:( y + z) (P2 ,y,z =PPrin urmare:(P (x, y, z) =aP (x, y, z) =P(y,z, x) =P(z, x, y), ∀x, y, z ∈ Rx, z + x2x− y+z2)() (,z =Py− z+x2x, y, x + y2)(z− x+y2)=0, ∀x, y, z ∈ R.), ∀x, y, z ∈ R,unde a ∈ R şi a =const.. Identificând coeficienţii lui x 3 ,deexemplu,obţinem a 4 =2,adicăa=8.În concluzie:P (x, y, z) =(2x−y−z)(2y − z − x)(2z − x − y), ∀ x, y, z ∈ R.Observaţie. Prin calcul, se oţine forma desfăşurată aluiP(x, y, z):P (x, y, z) =2 ( x 3 +y 3 +z 3) −3 ( x 2 y+xy 2 + y 2 z + yz 2 + z 2 x + zx 2) +12xyz, ∀ x, y, z ∈ R.Pasul 2. În al doilea rând vom arăta că în condiţiile din enunţ au loc următoareleinegalităţi:1. Dacă a 2 j ≤ a j−1a n, pentru orice j ∈{2,3,...,n−1}, atunci:(ln a i − ln a j) 2 (ln a i +lna j −2lna k )+(lna j −ln a k ) 2 (ln a j +lna k −2lna i)++(lna k −ln a i) 2 (ln a k +lna i−2lna j)≥0, ∀i, j, k ∈{1,2,...,n}, i