GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

S. Rădulescu şi I. V. Maftei, Concursul de ocupare a posturilor, 2009 221Metoda 3. Vom demonstra următoarea:Lemă. Fie a 1 ,a 2 ,...,a n ∈R ∗ +, cu proprietatea că a 1 +a 2 +...+a n =1.Atunci este adevărată următoarea inegalitate:x a 11 · xa 22 · ...·xan n ≤a 1x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n , ∀x 1 ,x 2 ,...,x n >0.Egalitatea are loc numai dacă x 1 = x 2 = ...=x n .Demonstraţie. Fie funcţia f :(0,+∞)→R,f(x)=−ln x. Evident:f ′′ (x) = 1 >0, ∀x∈(0, +∞) (1)x2 şi rezultă că funcţiaestestrictconvexă. Aplicând inegalitatea lui Jensenavem: ( n∑)n∑f a i x i ≤ a i f(x i ), ∀ x 1 ,x 2 ,...,x n >0. (2)i=1i=1Înlocuind în (2) funţia f obţinem:( n∑)− ln a i x i ≤i=1n∑−a i ln x i . (3)Înmulţind cu (−1) se obţine:(n∑n∑)a i ln x i ≤ ln a i x i . (4)i=1Dezvoltând după i:i=1a 1 ln x 1 + a 2 ln x 2 + ...+a n ln x n ≤ ln (a 1 x 1 + a 2 x 2 + ...+a n x n ), (5)sau:ln (x a 11 · xa 22 · ...·xan n )≤ln (a 1 x 1 + a 2 x 2 + ...+a n x n ),ceea ce implică:x a 11 · xa 22 · ...·xan n ≤a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n , (6)adică inegalitatea propusă. În inegalitatea lui Jensen avem egalitate cândx 1 = x 2 = ...=x n .Vom demonstra următoarea:Teoremă. Fie a 1 ,a 2 ,...,a n ∈ R ∗ + şi a 1 + a 2 + ... + a n = a (dat).Atunci este adevărată următoarea inegalitate:x a 11 ·xa 22 ·...·xan n ≤a a 11 ·aa 22 ·...·aan n · 1a a (x 1 +...+x n ) a , ∀x 1 ,...,x n ∈(0, ∞).Demonstraţie. Aplicăm Lema precedentă şi obţinem:x a a11 · xa 22 · ...·xan n(x = 1ai=1a 2a) a1 ·x2 ·...·x an a n =