GAZETA MATEMATICËA - SSMR

More documents

Recommendations

Info

$Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Tome 49(97) No. 4 ... - SSMR$

238 Problemeschimbarea, deci q să fie acela cu proprietatea că:q−1∑x n < 1 q∑m şi x n ≥ 1 m .n=pAstfel vedem că are loc prima inegalitate din enunţ pentru această alegerealuipşi q.Ca să vedem că şi a doua este verificată nu este greu de loc; avem:q−1q∑ ∑x 2 n = x 2 n + x 2 q < 1 q−1∑x n + x 2 q < 1 mm · 1 ( ) 2 1m + = 2 m m . 2n=pn=pn=pAcum este destul de clar cum se rezolvă problema. Începem prin a alege un grupde termeni (consecutivi) ai şirului (x n) n≥1care au suma ≥ 1şi suma pătratelor mai micădecât 1; alegem adică indicii p 1
Soluţiile problemelor propuse 239Soluţia autorului. Avem:f(x) =lnϕ(x)= g(x)x ,unde g(x) = ax +b x +c xpentru orice x>0şi trebuie să arătăm că f este concavă pe3(0, ∞). Se calculează imediat derivata a doua, f ′′ (x) = h(x) , unde avem:x 3h(x) =x 2 g ′′ (x) − 2xg ′ (x)+2g(x), ∀x>0.Evident, h se poate considera definită pe[0,∞) punând h(0) = 0, prin continuitate.Apoi, h este şi ea derivabilă, având derivata:h ′ (x) =x 2 g (3) (x) ≤ 0, ∀ x ≥ 0,dacă reuşim să arătăm că g are derivata a treia negativă pe[0,∞). Atunci s-ar obţineh(x) ≤ h(0) = 0 pentru x ≥ 0, deci şi f ′′ (x) ≤ 0pentrux>0, ceea ce trebuia demonstrat.Ne mai rămâne aşadar să dovedim că g (3) (x) ≤ 0 pentru orice x>0.În acest scop calculăm:g ′ (x) = ax ln a + b x ln b + c x ln ca x + b x + c xşi apoi:g ′′ (x) = (ln a − ln b)2 a x b x +(lna−ln c) 2 a x c x +(lnb−ln c) 2 b x c x(a x + b x + c x ) 2 ,pentru a ajunge în cele din urmă la:g (3) (x) =1[∑=(ln b − ln a) 3(a x +b x +c x ) 3 (a x − b x )+a x b x c x∑ ](ln a − ln b) 2 (ln a +lnb−2lnc) .Sumele se fac după toate permutările circulare ale literelor a, b, c, iar cea de a douasumă sedovedeşte a fi egală cu produsul:(2 ln c − ln a − ln b)(2 ln b − ln a − ln c)(2 ln a − ln b − ln c).Ipotezele asupra numerelor a, b, c arată că ultimii doi factori din acest produs sunt≥ 0, iar primul este ≤ 0. Împreună cufaptulcă:∑(ln b − ln a) 3 (a x − b x ) ≤ 0,pentru x>0 (evident), asta ne arată ceamdorit,adicănearatăcăg (3) (x) ≤ 0pentruorice x>0şi demonstraţia se încheie aici.Extindere şi generalizare dată deIlie Bulacu, Erhardt+Leimer Romania, PTS,Bucureşti.Fie a 1,a 2,...,a n numere reale pozitive astfel încât a 1 ≥ a 2 ≥ ...≥a n şi n ≥ 3.1. Dacă a 2 j ≤ a j−1a n pentru orice j ∈{2,3,...,n−1}, atunci funcţia f :(−∞, 0)→ R ∗ +definită prin:( axf(x)= 1 +a x 2 +...+a x )1xn ,npentru orice x
Page 1 and 2:
GAZETA MATEMATICĂSERIA AANUL XXVII
Page 3 and 4:
V. Pop, Metoda etichetării binare
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
A. Reisner, Teorema Beatty, şiruri
Page 13:
A. Reisner, Teorema Beatty, şiruri
Page 17 and 18: A. Reisner, Teorema Beatty, şiruri
Page 23 and 24: M. Olteanu, Asupra rafinării unor
Page 36 and 37: 208 Articolerazele sferei înscrise
Page 38 and 39: 210 Note Matematice şi Metodice0
Page 40 and 41: 212 Note Matematice şi MetodiceThu
Page 42 and 43: 214 Note Matematice şi MetodiceIne
Page 44 and 45: 216 Examene şi concursuriii) Inega
Page 46 and 47: 218 Examene şi concursuriconstat
Page 48 and 49: 220 Examene şi concursuri2. Proble
Page 50 and 51: 222 Examene şi concursuri=[ (x1a 1
Page 52 and 53: 224 Examene şi concursuri∀ x ∈
Page 54 and 55: 226 Examene şi concursuri∫Fie 0
Page 56 and 57: 228 Didactica MatematiciiProiect di
Page 58 and 59: 230 Didactica Matematicii2) repreze
Page 60 and 61: 232 ProblemeÎn realizarea sarcinil
Page 62 and 63: 234 ProblemeSOLUŢIILE PROBLEMELOR
Page 64 and 65: 236 ProblemeDacă im(αu a + βu b
Page 68 and 69: 240 Problemepentru orice x>0, este
Page 70 and 71: 242 Problemeunde:După efectuarea c
Page 72 and 73: 3) 1 α + 1 β + 1 γ = 2 a . Danie
Page 74 and 75: 246 Problemeşi:Rezultă:( )ω2sign
Page 76 and 77: 248 Istoria Matematiciişi soluţia
Page 78 and 79: 250 Istoria MatematiciiRevista s-a
Page 80 and 81: 252 Istoria Matematiciicaute o alt
Page 82 and 83: 254 Istoria Matematiciiachitării d
Page 84 and 85: 256 Istoria MatematiciiSocietăţii
Page 86 and 87: 258 Istoria Matematiciirezolvarea C
Page 88 and 89: 260 Din viaţa societăţiitrecere
Page 90 and 91: 262 Din viaţa societăţiipreponde
Page 92 and 93: 264 Din viaţa societăţii44. Radu
Page 94 and 95: 266 Din viaţa societăţii(22) Adr
Page 96: 268 RecenziiADRIANA DRAGOMIR, LUCIA
show all

GAZETA MATEMATICËA - SSMR

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

GAZETA MATEMATICËA - SSMR