GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

M. Olteanu, Asupra rafinării unor inegalităţi în tetraedru 205Conform relaţiei (8), pag. 99 din [10] avem:rA 2 + r2 B + r2 C + r2 D ≥ 8r2 implică r 2 + rA 2 + r2 B + r2 C + r2 D ≥ 9r2 . (13)Din (12) şi (13) rezultă că:R 2 ≥ r 2 + rA 2 + r2 B + r2 C + r2 D ≥ 9r2 .b) Deoarece:HI 2 = R 2 +3r 2 − 1 (a 2 + b 2 + c 2 + l 2 + m 2 + n 2) ,12OG 2 = R 2 − 1 (a 2 + b 2 + c 2 + l 2 + m 2 + n 2) ,162 · OG = OH,rezultă 16·OG 2 − 12 · HI 2 =4 ( R 2 −9r 2) .Dar, conform problemei 333, pag. 63 din [4] avem R 2 −9r 2 ≥ OI 2 . Deci16 · OG 2 − 12HI 2 ≥ 4OI 2 este echivalentă cu4OG 2 ≥ 3HI 2 + OI 2 sauOH 2 ≥ OI 2 +3HI 2 .Observaţie. Din OH 2 ≥ OI 2 +3HI 2rezultă OH 2 ≥ OI 2 + HI 2 , adică punctulI se află situat în interiorul sferei dediametru [OH]. În plus, dacă tetraedrul[ABCD] este ortocentric, având ortocentrulH ∈ int(ABCD), se ştie, conform problemei336, pag. 64 din [4], că punctul I este situatîn exteriorul sferei de diametru [OG] Fig. 1În concluzie, în cazul tetraedrelor ortocentrice având ortocentrul în interiorullor, centrul sferei înscrise tetraedrului este situat în zona cuprinsăîntre exteriorul sferei de diametru [OG] şi interiorul sferei de diametru [OH](vezi fig. 1).Propoziţia 7. Fie [ABCD] un tetraedru ortocentric. Dacă I estecentrul sferei înscrise tetraedrului, atunci are loc următoarea rafinare a inegalităţiiEuler-Durrande:12r ≤ AI + BI + CI + DI ≤ 2 √ AI 2 + BI 2 + CI 2 + DI 2 ≤ 4R.Demonstraţie. Din teorema medianei aplicată în triunghiul OHI,avem:4GI 2 =2(OI 2 + HI 2 ) − OH 2 =2(OI 2 + HI 2 ) − 4OG 2 ;rezultă:2GI 2 = OI 2 + HI 2 − 2OG 2 ≤ OH 2 − 2OG 2 =2OG 2şi deci:GI 2 ≤ OG 2 .(∗∗)Din relaţia lui Leibniz avem:AI 2 + BI 2 + CI 2 + DI 2 =4GI 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 =