Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 11
2 Determinanten
2.1 Definition und Beispiele
Eine lineare Abbildung K n → K n kann mit einer quadratischen n × n –Matrix A identifiziert
werden.
Wir betrachten eine quadratische Matrix
⎛
a11
⎜
A = (ajk) = ⎝ .
· · ·
⎞
a1n
⎟
. ⎠ ∈ K n×n .
an1 · · · ann
1. Wähle aus den n 2 Einträgen ajk der Matrix eine n–Kombination aus, darunter
versteht man n Einträge so, dass jede Zeile und jede Spalte genau einmal vorkommt.
Man kann auch sagen, dass zu jedem Zeilenindex j ∈ {1, . . . , n} ein Spaltenindex k
— bijektiv — ausgewählt wird. Das bedeutet aber gerade dass die Auswahl durch
eine Permutation π ∈ Sn über k = π(j) gegeben ist:
a1,π(1), a2,π(2), . . . , an,π(n).
Mit gleicher Berechtigung kann man sagen, dass zu jedem Spaltenindex k ein Zeilenindex
j durch die Permutation π −1 ausgewählt wird:
a π −1 (1),1, a π −1 (2),2, . . . , a π −1 (n),n.
2. Die Elemente der n–Kombination werden multipliziert und mit dem Vorzeichen σ(π)
versehen:
σ(π) · a1,π(1) · a2,π(2) · . . . · an,π(n) = σ(π −1 ) · a π −1 (1),1 · a π −1 (2),2 · . . . · a π −1 (n),n.
(Vgl. Satz P2 (iv)).
3. Dann werden alle nach diesem Verfahren herstellbare Produkte aufaddiert. Das
heißt, man muss über alle möglichen Permutationen π ∈ Sn addieren: Es ergibt
sich die Gesamtformel
det A :=
n
σ(π) ·
(Z)
π∈Sn
=
σ(π) ·
π∈Sn
(∗)
=
π∈Sn
σ(π) ·
j=1
n
j=1
n
j=1
aj,π(j)
a π −1 (j),j
aπ(j),j
Da es einerlei ist, ob man über alle Permutationen oder über alle inversen Permutationen
aus Sn addiert, ergibt sich die Umformung (∗).
(S)