Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 20 2.6 Invertierbare Matrizen und Determinanten Satz 11 Zu einer gegebenen quadratischen Matrix A sei die Matrix A ⋄ definiert durch die Einträge a ⋄ jk = (−1) j+k det A (jk) . Ausgeschrieben ergibt sich die Matrix mit einer Vorzeichen–Schachbrettverteilung: ⎛ A ⋄ ⎜ = ⎜ ⎝ + det A (11) − det A (12) · · · · · · (−1) 1+n det A (1n) − det A (12) + det A (22) · · · · · · (−1) 2+n det A (2n) ⎞ . . . . . .. . .. ⎟ . ⎟ . ⎠ (−1) n+1 det A (n1) (−1) n+2 det A (n2) · · · · · · + det A (nn) Dann gilt für das Produkt der Matrizen A und A ⋄T A · A ⋄T = A ⋄T · A = det A · I = Beweis Wir rechnen einfach das Produkt aus: (A · A ⋄T )jk = n i=1 (A)ji(A ⋄T )ik = ⎛ det A ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 det A · · · · · · · · · 0 . . . . .. . . . det A . .. .. . . .. . .. . .. . .. . . . 0 ⎞ ⎟ ⎠ 0 · · · · · · · · · 0 det A n aji · (−1) k+i det A (ki) i=1 . (Entwicklung der folgenden Determinante nach der k–ten Zeile) = ⎛ a11 ⎜ . ⎜ ak−1,1 ⎜ det ⎜ aj1 ⎜ ak+1,1 ⎜ ⎝ . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⎞ a1n ⎟ . ⎟ ak−1,n ⎟ ajn ⎟ ak+1,n ⎟ . ⎠ k–te Zeile = an1 · · · · · · ann det A, falls j = k, 0, falls j = k. Die Matrix in der vorletzten Zeile entsteht aus der Matrix A dadurch, dass die k–te Zeile von A durch die j–te Zeile von A ersetzt ist. Für j = k ist diese Matrix gleich der Matrix
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 21 A. Für i = k sind in dieser Matrix die Zeilen j und k identisch. Daraus folgt die letzte Gleichung. Die andere Eigenschaft A ⋄T · A = det A · I folgt mit einer dualen Betrachtung, d.h. einer Spaltenentwicklung. Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar oder regulär, wenn es eine Matrix B gibt, so dass A · B = I (Einheitsmatrix). Eine Matrix, die nicht regulär ist, heißt auch singulär. Satz 12 (D5 Matrixgruppe) Die Menge der invertierbaren n × n–Matrizen über K bildet eine Gruppe. Sie wird mit GL(K, n) (General linear group) bezeichnet. Für n ≥ 2 ist die Gruppe nicht kommutativ. Beweis Er ist Ihnen zur Übung überlassen. Aus der Gruppentheorie ist bekannt, dass inverse Elemente einer Gruppe eindeutig bestimmt ist. Die zu einer gegebenen invertierbaren Matrix A inverse Matrix wird daher mit A −1 bezeichnet. Folgerung 13 (D6 Matrixinversion) Hat eine quadratische Matrix A eine nicht– verschwindende Determinante det A = 0, so ist sie invertierbar. Es gilt A −1 = 1 det A · A⋄T . Folgerung 14 (D7 Cramer’sche Regel) Ist die Matrix A ∈ K n×n in dem LGS Ax = b invertierbar, so ist die Lösung x gegeben durch xj = 1 ⎛ a11 ⎜ · det ⎝ det A . an1 · · · · · · a1,j−1 . an,j−1 b1 . bn a1,j+1 . an,j+1 · · · · · · ⎞ a1n ⎟ . ⎠ , ann j = 1, . . . , n. Beweis Es ist ⎛ ⎞ a11 · · · a1,j−1 b1 a1,j+1 · · · a1n 1 ⎜ ⎟ · det ⎝ det A . . . . . ⎠ = an1 · · · an,j−1 bn an,j+1 · · · ann (Entwicklung nach der j–ten Spalte) 1 det A · 1 det A · n bi · (−1) i+j det A (ij) = i=1 n i=1 (A ⋄T )ji bi = 1 det A · (A⋄T b)j = (A −1 b)j = xj.
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