Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 18
Beweis Wir zeigen die Aussage (i) für m = n. Die allgemeine Aussage folgt dann mit
Satz D1 (ii).
det A =
σ(π) ·
=
=
π∈Sn
n
k=1
n
k=1
n
aj,π(j) =
j=1
π∈Sn,π(n)=k
ank ·
Es bleibt zu zeigen, dass
π∈Sn,π(n)=k
π∈Sn,π(n)=k
n
k=1
n−1
σ(π) · ank ·
π∈Sn,π(n)=k
j=1
n−1
σ(π) ·
j=1
aj,π(j)
aj,π(j)
n−1
σ(π) · aj,π(j) = (−1) n+k · det A (nk) .
j=1
σ(π) ·
n
j=1
aj,π(j)
Dazu sei ϑ die Permutation, die die Zahl k an die letzte Stelle n ,,verschiebt”:
ϑ = (n n − 1) . . . (k + 2 k + 1)(k + 1 k), σ(ϑ) = (−1) n−k = (−1) n+k .
Dann sind die Einträge von A (nk) gegeben durch
a (nk)
jℓ = a j,ϑ −1 (ℓ), 1 ≤ j, ℓ ≤ n − 1.
Es gilt dann:
π∈Sn,π(n)=k
π∈Sn,ϑ −1 π(n)=k
(−1) n+k ·
(−1) n+k ·
(−1) n+k ·
n−1
σ(π) · aj,π(j) = (Transformation π = ϑ−1π )
j=1
σ(ϑ −1 n−1
π) · aj,ϑ−1π(j) =
π∈Sn,π(n)=n
π∈Sn,π(n)=n
π∈Sn−1
(−1) n+k · det A (nk) .
j=1
n−1
σ(π) · aj,ϑ−1π(j) =
j=1
n−1
σ(π) · a (nk)
j,π(j) =
j=1
j=1
n−1
σ(π) · a (nk)
j,π(j) =