Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 37
4.3 Endomorphismen beim Basiswechsel, Ähnlichkeit
Es sei V ein n–dimensionaler Vektorraum mit zwei Basen B und B ′ . Wir betrachten
einen Endomorphismus (lineare Abbildung innerhalb eines Vektorraums) f : V →
V . Die obigen Überlegungen wollen wir jetzt unter dem sinnvollen, aber einengenden,
Gesichtspunkt betrachten, dass die Basiswechsel im Definitionsraum und im Bildraum
gleich sind. Der letzte Satz kann also nicht angewandt werden.
Das obige Diagramm hat jetzt die Form:
K n
. η −1
B
........................................................................
ΘB ′ B V
.
. ηB ′
K n
f BB
f
f B ′ B ′
. .
V
η −1
B
.
η B ′
..
. .
. .
K n
..
K n
Bei vorgegebener Basis B = {w1, . . . , wn} wird der Abbildung f die quadratische Matrix
fB = fBB dadurch (eineindeutig) zugeordnet, dass
gilt.
f(wj) =
n
k=1
(fB)jkwk
Bei einem durch die Matrix ΘB ′ B vermittelten Basiswechsel von B nach B ′ geht die Matrix
fBB in die Matrix F über, wobei gilt:
Θ B ′ B
fB ′ = ΘB ′ B · fB · ΘBB ′ = ΘB ′ B · fB · Θ −1
B ′ B .
Dieser Verwandtschaft von zwei Matrizen wird wieder ein Namen gegeben:
Definition (und Satz) Zwei Matrizen A, A ′ ∈ K n×n heißen ähnlich oder konjugiert
zueinander, symbolisch A ∼ A ′ , wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt
ist:
(i) Es gibt eine reguläre Matrix T ∈ K n×n , so dass
A ′ = T · A · T −1 .
(ii) Es gibt eine reguläre Matrix T ∈ K n×n , so dass
A ′ = T −1 · A · T.
(iii) Ist f : V → V ein Endomorphismus eines n–dimensionalen Vektorraums und A =
fB die Matrixdarstellung von f bezüglich einer Basis B von V , so gibt es eine Basis
B ′ von V , so dass A ′ = fB ′.