Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 77
B
.
.
Q
. A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweis (i) =⇒ (ii): Der Vektor −→
BQ hat die folgende Entwicklung bzgl. der ONB
−→
BQ = 〈 −→
BQ, w1〉 w1 + . . . + 〈 −→
BQ, wn〉 wn,
was man leicht durch Skalarmultiplikation dieser Gleichung mit den Vektoren wi der
Orthonormalbasis nachweisen kann. Es gilt dann weiter:
〈 −→
AB, −→ −→ −→ −→
BQ〉 = 〈 AQ, BQ〉 − 〈 AQ, w1〉〈w1, −→ −→
BQ〉 − . . . − 〈 AQ, wm〉〈wm, −→
BQ〉
= 〈 −→
AQ, −→
BQ − 〈w1, −→
BQ〉w1 − . . . − 〈wm, −→
BQ〉wm〉 = 〈 −→
AQ,0〉 = 0.
(ii) =⇒ (i): Der Vektor −→
BQ ist in U enthalten, besitzt also eine Entwicklung bzgl. der
Orthonormalbasis:
−→
QB = λ1w1 + . . . + λmwm.
Wir berechnen jetzt für −→
QB = −→
QA + −→
AB die Skalarprodukte mit den Basisvektoren:
λi = 〈 −→
QB, wi〉 = 〈 −→
QA, wi〉 + 〈 −→
AB, wi〉 = 〈 −→
QA, wi〉.
Daraus folgt λi = −〈 −→
AQ, wi〉.
(ii) =⇒ (iii): Für Q ∈ Q \ {B} gilt:
−→
AQ 2 − −→
AB 2 = −→
AB + −→
BQ 2 − −→
AB 2
= 〈 −→
AB + −→ −→ −→ −→ −→
BQ, AB + BQ〉 − 〈 AB, AB〉
= 2〈 −→
AB, −→ −→ −→ −→ 2
BQ〉 + 〈 BQ, BQ〉 = BQ > 0.
Die Aussage (iii) impliziert, dass −→
AB ≤ −→
AQ für alle Q ∈ Q. Das ist aber gerade die
Aussage (iv).
Q
.