Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 62
5.3.1 Orthogonale Abbildungen im R 2
Es sei A eine orthogonale Abbildung in dem mit dem Standard–Skalarprodukt versehenen
Vektorraum V = R 2 .
Überlegen Sei mittels Anschauung: Wie schaut eine längen- und winkelerhaltende lineare
Abbildung im R 2 aus?
Es sei
A =
a b
c d
gegeben. Dann gilt für zwei beliebige Vektoren v =
v1
v2
w1
, w =
w2
〈v, w〉
〈Av, Aw〉
=
=
v1w1 + v2w2
av1 + bv2 aw1 + bw2
〈
,
cv1 + dv2 cw1 + dw2
〉
= (av1 + bv2) · (aw1 + bw2) + (cv1 + dv2) · (cw1 + dw2)
∈ R2 .
= (a 2 + c 2 )v1w1 + (ab + cd) · (v1w2 + v2w1) + (b 2 + d 2 )v2w2
Es muss also aufgrund der Orthogonalität
(a 2 + c 2 )v1w1 + (ab + cd) · (v1w2 + v2w1) + (b 2 + d 2 )v2w2 = v1w1 + v2w2
für alle Vektoren v, w ∈ R 2 gelten.
Setzt man v = w = e1 bzw. v = w = e2 ein, so folgt:
a 2 + c 2 = 1 und b 2 + d 2 = 1
=⇒ a 2 b 2 + (a 2 d 2 + b 2 c 2 ) + c 2 d 2 = (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) = 1 (∗)
Setzt man v = e1, w = e2 ein, so folgt außerdem:
ab + cd = 0
=⇒ a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 = (ab + cd) 2 = 0 (∗∗)
Jetzt kann man weiter schließen
0 ≥ −(a 2 − d 2 2 (∗)
) = (a 2 − d 2 )(c 2 − b 2 ) =
= a 2 c 2 + b 2 d 2 − (a 2 b 2 + c 2 d 2 ) (∗∗)
= a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2abcd = (ac + bd) 2 ≥ 0.
Also müssen alle Glieder in der Gleichungskette gleich Null sein. Es folgt:
a 2 = d 2
und b 2 = c 2