Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 74
• Gerade, wenn seine Dimension gleich 1 ist,
• Ebene, wenn seine Dimension gleich 2 ist,
• Hyperebene, wenn seine Dimension gleich n − 1 ist.
Eine Menge {P }, die genau einen Punkt von P enthält, ist ein 0–dimensionaler affiner
Unterraum.
Beobachtung: Eine Teilmenge Q ⊆ P ist genau dann ein affiner Unterraum, wenn es einen
Punkt P ∈ P und einen Unterraum U ⊆ V gibt, so dass
Q = {τu(P )|u ∈ U} = P + U.
Bemerkung: Ist B = {w1, . . . , wm} eine Basis des Unterraums U, so heißt der Ausdruck
unter der geschweiften Klammer in
Q = {P + µ1w1 + . . . + µmwm
|µ1, . . . , µm ∈ R}.
eine Parameterdarstellung des affinen Unterraums Q. Für jedes Q ∈ Q gibt es ein m–Tupel
(µ1, . . . , µm) T ∈ R m , so dass
Q = P + µ1w1 + . . . + µmwm.
Zwei affine Unterräume Q1 und Q2 heißen parallel (zueinander), wenn für die zugehörigen
Unterräume U1 und U2 gilt:
U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 (∗)
Symbolisch schreibt man für Parallelität bzw. Nicht–Parallelität:
Q1 Q2, Q1 Q2.
Bemerkung: Gilt dim Q1 = dim Q2, so ist die Bedingung (∗) äquivalent zu
U1 = U2.
Zwei affine Unterräume Q1 und Q2 heißen windschief (zueinander), wenn
Q1 ∩ Q2 = ∅ und Q1 Q2.
Für zwei affine Unterräume Q1 und Q2 mit dim Q1 = dim Q2 kann man dann die folgenden
Fälle unterscheiden:
• Q1 = Q2,