Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 53
Beispiel 1
Wir betrachten das Beispiel vom Anfang des Kapitels. Es sei V ein zweidimensionaler
reeller Vektorraum und der Endomorphismus f : V → V definiert durch
f(w1) = 16
3 w1 − 5w2, f(w2) = 10
3 w1 − 3w2.
16 10
1. fB = 3
−5
3
−3
2.
χf(x) =
16 − x 3
−5
10
3
−3 − x
3.
7
3
λ1,2 =
±
49 8 − 7
9 3
3 =
2 2
5 ± 3
= (16
3
10
− x)(−3 − x) −
3 · (−5) = x2 − 7 2
x +
3 3
, also λ1 = 2, λ2 = 1
3 .
4. Die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte sind n1 = 1, n2 = 1.
5b. Die Zerlegung in Linearfaktoren ist χf(x) = (x − 2)(x − 1
3 ).
6. Es muss g1 = 1, g2 = 1 gelten.
7b. Da die Vielfachheiten alle übereinstimmen, ist f diagonalisierbar.
8. Wir lösen das LGS für den ersten Eigenwert
16
10 − 2
(fB − λ1)x = 3 3 x =
−5 −3 − 2
Wir finden ganz leicht eine Lösung
x11 =
1
−1
.
Wir lösen das LGS für den zweiten Eigenwert
(fB − λ2)x =
Wir sehen ganz leicht
x21 =
2
−3
16 1 − 3 3
.
10
3
−5 −3 − 1
3
x =
10
3
10
3
−5 −5
5 10
3
−5 − 10
3
9. Jetzt kann die Matrix T −1 zusammengestellt werden:
T −1 =
1 2
−1 −3
.
0
x =
0
0
x =
0
(Sie unterscheidet sich von der Matrix Θ −1
B ′ B (Siehe Abschnitt 4.3/Beispiel) durch
einen Faktor −1 in der zweiten Spalte. Beachte, dass die Übergangsmatrix T nicht
eindeutig bestimmt ist.)
.
.