Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 15
=
(−σ(π ◦ ϑ)) ·
π∈Sn
n
aj,π◦ϑ(j) = −
σ(π) ·
j=1
π∈Sn
n
aj,π(j) = − det(A).
(iii) Es gibt nur eine n–Kombination der Einträge von I, bei der das zugehörige Produkt
ungleich Null ist. Dies ist das Produkt, das zur identischen Permutation gehört:
a11 · a22 · . . . · ann = 1,
alle anderen Produkte enthalten mindestens einen Eintrag ajk mit j = k, also ajk = 0.
Das bedeutet aber:
det A =
n
σ(π) · aj,π(j) =
σ(π) ·
π∈Sn
j=1
π=(1)
n
aj,π(j) = 1.
(v) Die Beweise erfolgen genau analog zu den Beweisen von (i) und (ii). Man verwendet
einfach die Leibniz–Formel (S) anstelle der Formel (Z).
Folgerung 7 (D2 Weitere Eigenschaften) Die Determinantenfunktion hat die folgenden
weiteren Eigenschaften:
(i) Für jedes α ∈ K gilt:
det(α · A) = α n · det A.
j=1
(ii) Ist eine Zeile oder Spalte von A gleich Null, so gilt:
det A = 0.
(iii) Hat A zwei gleiche Zeilen oder zwei gleich Spalten, so gilt:
det A = 0.
(iv) Entsteht die Matrix A ′ aus der Matrix A dadurch, dass eine Zeile (Spalte) von A zu
einer anderen Zeile (Spalte) von A addiert wird, so gilt:
det A ′ = det A.
(Vgl. LAL01, Abschnitt 4.4, S. 63)
Beweis In der Übung.
j=1