Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 4
1 Permutationen
1.1 Einführung
Definitionen:
1. Es sei X eine Menge. Eine bijektive Abbildung f : X → X heißt auch Permutation
von X.
2. Die Menge aller Permutationen einer Menge X bezeichnen wir mit
S(X) := {f : X → X|f ist bijektiv }.
Beobachtung: Die Menge S(X) bildet mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung
S(X) × S(X)
◦
(f, g)
→
↦→
S(X)
f ◦ g
eine Gruppe.
Begründung: Die Hintereinanderausführung von Funktionen ist immer assoziativ: Für drei
Abbildungen f, g, h : X → X gilt:
[(h ◦ g) ◦ f](x) = (h ◦ g)(f(x)) = (h(g(f(x))) = h((g ◦ f)(x)) = [h ◦ (g ◦ f)](x).
Das neutrale Element ist durch die identische Abbildung idX gegeben. Die zu einer Abbildung
f ∈ S(X) inverse Abbildung ist gegeben durch die Umkehrabbildung f −1 .
Beispiel: Wir betrachten auf der Menge R die beiden Abbildungen f, g ∈ S(R)
Dann gilt:
f(x) = 2x, g(x) = x + 1.
(f ◦ g)(x) = f(x + 1) = 2(x + 1), (g ◦ f)(x) = g(2x) = 2x + 1).
Es ist also f ◦ g = g ◦ f. Die Gruppe S(R) ist nicht kommutativ.
Definition: Ist X eine endliche Menge der Mächtigkeit n, so heißt S(X) die Symmetrische
Gruppe auf n Elementen (oder n Buchstaben).
Im allgemeinen hat man es mit der Menge X = {1, 2, . . . , n} zu tun.
Man kürzt Sn = S({1, 2, . . . , n}) ab. Die Elemente werden im allgemeinen durch den Buchstaben
π gekennzeichnet. Die Hintereinanderausführung zweier Permutationen schreiben
wir ab jetzt als Multiplikation:
π1 · π2 = π1 ◦ π2.
Wie sonst auch üblich, kann das Multiplikationszeichen · auch weggelassen werden.
Beispiele: