Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)
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S. Hilger, <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> 2 (<strong>GS</strong>/<strong>HS</strong>/<strong>RS</strong>) SS 2010 2<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Permutationen 4<br />
1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2 Zyklen und Transpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.3 Zerlegung von Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.4 Das Signum einer Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2 Determinanten 11<br />
2.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.3 Der Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.4 Die Entwicklung einer Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.5 Einschub: Transposition einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.6 Invertierbare Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3 Euklidische Vektorräume 23<br />
3.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.2 Norm und Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
3.3 Das Vektorprodukt im euklidischen R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
4 Diagonalisierbarkeit 32<br />
4.1 Vektoren beim Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
4.2 Homomorphismen beim Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
4.3 Endomorphismen beim Basiswechsel, Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
4.4 Exkurs: Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
4.5 Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.7 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
5 Abbildungen in euklidischen Vektorräumen 58<br />
5.1 Das Skalarprodukt beim Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
5.2 Die adjungierte Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
5.3 Orthogonale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
5.3.1 Orthogonale Abbildungen im R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.4 Diagonalisierung in euklidischen Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . 66
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