Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 80
6.3.3 Isometrien
Definition Eine Abbildung f : P → P in einem euklidischen affinen Raum heißt eine
Isometrie oder Kongruenzabbildung, wenn
d(f(P ), f(Q)) = d(P, Q) für alle P, Q ∈ P.
Satz 49 (Isometrien)
(i) Translationen sind Isometrien.
(ii) Es sei D ∈ P, die beiden Abbildungen f : P → P und f ♯ : V → V seien durch die
Beziehung
f ♯ ( −→
DP ) = −−−−→
Df(P ) für alle P ∈ P
wechselseitig definiert.
Genau dann ist f eine Isometrie mit Fixpunkt D, wenn f ♯ orthogonal ist.
(iii) Ist f eine Isometrie, so gibt es einen Vektor v und einen Punkt D ∈ P, so dass
f = g ◦ τv,
wobei g eine Isometrie mit D als Fixpunkt ist.
Beweis (i)
d(τv(P ), τv(Q)) = −−−−−−−→
τv(P )τv(Q) = −−−−→
τv(P )P + −→
P Q + −−−−→
τv(Q)Q
= − v + −→
P Q + v = −→
P Q = d(P, Q).
(ii) Es sei f eine Isometrie mit Fixpunkt D. Dann gilt für beliebiges v ∈ V , P := τv(D):
f ♯ (v) = f ♯ ( −→
DP ) = −−−−→
Df(P ) = −−−−−−→
f(D)f(P ) = −→
DP = v,
daraus folgt mit dem Satz über die Eigenschaften orthogonaler Abbildungen (Satz 36),
dass f ♯ orthogonal ist.
Ist umgekehrt eine Abbildung f ♯ mit der im Satz angegebenen Eigenschaft gegeben, so
gilt:
−−−−→
Df(D) = f ♯ ( −−→
DD) = f ♯ (0) = 0 =⇒ f(D) = D.
Außerdem ist
d(f(P ), f(Q)) = −−−−−−→
f(P )f(Q) = −−−−→
f(P )D + −−−−→
Df(Q) = − f ♯ ( −→
DP ) + f ♯ ( −→
DQ)
= f ♯ ( −→
DQ − −→
DP ) = −→
DQ − −→
DP = −→
P Q = d(P, Q).