Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 6
1.2 Zyklen und Transpositionen
Definitionen:
1. Eine Permutation π ∈ Sn heißt Zyklus (der Länge k, wenn die Menge {1, 2, . . . , n}
in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt
so dass
{1, 2, . . . , n} = {m1, m2, . . . , mk} ˙∪ {ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn−k},
π(mi) = mi+1 für i = 1, . . . , k − 1, π(mk) = m1
π(ℓi) = ℓi für i = 1, . . . , n − k.
2. Die Zahlen m1, m2, . . . , mk heißen die Elemente des Zyklus. Zwei Zyklen heißen
disjunkt, wenn sie keine zwei gleichen Elemente haben.
3. Ein Zyklus der Länge 2 heißt Transposition.
4. In diesem Zusammenhang wird die identische Permutation als Zyklus der Länge 1
aufgefasst.
Wenn die Zahl n aus dem Kontext bekannt ist, werden hier andere Schreibweise verwendet:
(1 3)
(1 4 5) = (4 5 1) = (5 1 4)
(2 5 3 7 4)
:=
:=
:=
1
3
1
4
1
1
2
2
2
2
2
5
3
1
3
3
3
7
4
(Transposition)
4
4 5
5 1
4 5 6 7 8
2 3 6 4 8
(1) := id.
Beobachtung: Sind zwei Zyklen disjunkt, so ist ihr Produkt von der Reihenfolge unabhängig:
(p1 p2, . . . , pk) · (q1 q2, . . . , qj) = (q1 q2, . . . , qj) · (p1 p2, . . . , pk).
Bei der Multiplikation von nicht disjunkten Zyklen muss man ,,höllisch” aufpassen. Dies
wollen wir aber nur für Transpositionen ausprobieren:
(2 3)(3 5) = (2 3 5).
(Teste dabei nacheinander die Wirkung dieser Abbildung auf die einzelnen Zahlen aus
{1, 2, . . . , n} aus. Beachte, dass Permutationen Abbildungen sind und daher von rechts
nach links ausgeführt werden.)
(3 5)(2 3) = (2 5 3).