Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 67
Daraus folgt:
|λ| 2 = λ · λ = 1.
Definition Es sei f : V → V ein Endomorphismus. Ein Unterraum U ⊆ V heißt
invariant (unter f) oder f–invariant, wenn
f(U) ⊆ U
gilt. Das heißt, die Abbildung f bildet einen beliebigen Vektor u ∈ U wieder auf einen
Vektor aus U ab.
Beispiele: Die Unterräume {0} und V sind immer invariant. Die Eigenräume eines Endomorphismus
f sind invariant.
Satz 41 (Invarianz von orthogonalen Komplementen)
Es sei V ein euklidischer Vektorraum.
Ist f selbst–adjungiert, schief–selbst–adjungiert oder orthogonal, so gilt
U invariant =⇒ U ⊥ invariant.
Beweis Es sei U invariant und u ′ ∈ U ⊥ beliebig. Die Aussage f(U ⊥ ) ⊆ U ⊥ ist jeweils
bewiesen, wenn wir
〈f(u ′ ), u〉 = 0 für alle u ∈ U
zeigen können.
(1) Ist f selbst–adjungiert, so gilt für alle u ∈ U:
〈f(u ′ ), u〉 = 〈u ′ , f(u)
∈U
〉 = 0.
(2) Wenn f schief–selbst–adjungiert ist, so geht das (fast) ganz genauso:
〈f(u ′ ), u〉 = 〈u ′ , −f(u)
∈U
〉 = 0.
(3) Es sei jetzt f orthogonal. Da f bijektiv ist, gilt allgemein dim f(U) = dim U
(Vgl. Satz 15/LAL01). Deswegen folgt aus f(U) ⊆ U sogar f(U) = U (Vgl. Satz
12/LAL01), damit gilt aber auch f −1 (U) = U.
Jetzt können wir schließen:
〉 = 0.
∈U
〈f(u ′ ), u〉 = 〈u ′ , f ∗ (u)〉 = 〈u ′ , f −1 (u)