Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 56
Beispiel 3
Es sei f eine lineare Abbildung in einem 3–dimensionalen Vektorraum. Bezüglich einer
Basis habe sie die Matrixdarstellung
⎛
fB = ⎝
−2 0 1
0 3 0
−1 0 −2
⎞
⎠
Ist f über R oder über C diagonalisierbar? Wenn ja, führe das Diagonalisierungsverfahren
durch.
1. Dieser Schritt erübrigt sich.
2. Durch Entwicklung nach der zweiten Zeile erhält man das charakteristische Polynom:
χf(x) = (3 − x) · [(−2 − x) 2 + 1] = −(x − 3) · [(x + 2) 2 + 1].
3. Der Fall K = R: Der zweite Faktor in χf ist positiv für alle x ∈ R. Es gibt also nur
eine reelle Nullstelle λ1 = 3. f ist nicht über R diagonalisierbar.
3. Der Fall K = C: Man kann das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerlegen:
χf(x) = −(x − 3) · [(x + 2) 2 + 1] = −(x − 3) · [x − (i − 2)] · [x − (−i − 2)].
Die Eigenwerte sind λ1 = 3, λ2 = i − 2, λ3 = −i − 2.
4. Die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte sind n1 = n2 = n3 = 1.
5. Bereits erledigt.
6. Die geometrischen Vielfachheiten müssen alle gleich 1 sein.
7. f ist über C diagonalisierbar.
8. Die Gleichung
⎛
(fB − λ1)x = ⎝
5 0 1
0 0 0
−1 0 −5
hat die nicht–triviale Lösung
⎛
x11 = ⎝
0
1
0
⎞
⎠ .
⎞
⎛
⎠ x = ⎝
0
0
0
⎞
⎠