Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 42 Jetzt können wir die Umkehrung zeigen: p(x) = p(x) − p(λ) = pnx n + pn−1x n−1 + . . . + p1x + p0 − = pn(x n − λ n ) + pn−1(x n−1 − λ n−1 ) + . . . + p1(x − λ) = (x − λ) · = (x − λ) · q(x). pnQn−1(x, λ) + pn−1Qn−2(x, λ) + . . . + p1 Die fortgesetzte Abspaltung von Linearfaktoren führt auf die pnλ n + pn−1λ n−1 + . . . + p1λ + p0 Folgerung 25 (P2) Zu einem Polynom p mit Nullstelle λ gibt es eine eindeutig festgelegte Zahl k ∈ N und ein Polynom q vom Grad n − k, so dass p(x) = (x − λ) k · q(x), wobei q(λ) = 0. Die Zahl k heißt die Vielfachheit der Nullstelle λ im Polynom p. Definition Man sagt, ein Polynom zerfällt (über K) in Linearfaktoren, wenn es in der Form p(x) = pn · (x − λ1) k1 · (x − λ2) k2 · . . . · (x − λm) km mit Zahlen λ1, . . . , λm ∈ K und k1, . . . , km ∈ N dargestellt werden kann. Beispiele Das Polynom x 2 + 1 zerfällt über R nicht in Linearfaktoren, über C schon: x 2 + 1 = (x − i) · (x + i). Satz 26 (P3 Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom über C besitzt eine Nullstelle in C. Folgerung: Ein komplexes Polynom zerfällt (über C) in Linearfaktoren. Beweis Er muss mit Mitteln der Analysis geführt werden. Er ist allerdings für den Rahmen der Vorlesung ANA 01/02 zu aufwändig, mit Methoden der Funktionentheorie geht es ganz schnell. Vielleicht haben Sie einmal die Möglichkeit, ihn in einem Seminar kennenzulernen.
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 43 4.5 Das charakteristische Polynom Satz 27 (ED 3, und Definition) Ist A eine quadratische Matrix, so ist der Ausdruck χA(x) := det(A − x) ein Polynom n–ten Grades in x. Es heißt das charakteristische Polynom der Matrix A. Genauer gilt: χA(x) = (−1) n x n + (−1) n−1 (a11 + a22 + . . . + ann)x n−1 + . . . + det A. Die Summe der Diagonalelemente einer quadratischen Matrix A heißt die Spur der Matrix A. Spur A = a11 + . . . + ann. Beweis Wir schreiben die Determinante aus ⎛ a11 − x ⎜ a21 ⎜ det(A − x) = ⎜ ⎝ a12 a22 − x · · · · · · a1n . . . . .. .. . .. . .. . .. . .. . . an−1,n ⎞ ⎟ . ⎟ ⎠ an1 · · · · · · an,n−1 ann − x und überlegen, wie die Variable x über die Leibniz–Formel in dem Ausdruck χA(λ) Eingang findet. Da in der Leibniz–Formel nur Summen und Produkte der Matrix–Einträge auftreten, ist es klar, dass es sich um ein Polynom handelt. Die Potenzen x n und x n−1 können nur in dem Produkt auftreten, das zu der Permutation π = id gehört. In den Produkten, die zu den anderen Permutationen gehören, kommen mindestens zwei Nicht– Diagonalelemente der Matrix A−x, also höchstens n−2 Diagonalelemente, vor. Das heißt aber, dass x in diesen Produkten höchstens mit dem Exponenten n − 2 auftritt. Es genügt also, das zur identischen Permutation gehörende Produkt zu betrachten. Dafür gilt aber (a11 − x) · (a22 − x) · . . . · (ann − x) = (−x) n + (a11 + a22 + . . . + ann)(−x) n−1 + Glieder niedrigerer Ordnung Das sind genau die ersten beiden Glieder im charakteristischen Polynom. Setzt man x = 0, so sieht man, dass das konstante Glied im charakteristischen Polynom gerade die Determinante von A ist. Definition Ist f : V → V eine lineare Abbildung und B eine Basis, so heißt χf(x) := χfB (x)
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