Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 76
6.3 Euklidische affine Räume
Definition
(i) Ist auf dem Translationsvektorraum V eines affinen Vektorraums P ein Skalarprodukt
〈· , · 〉 gegeben, so spricht man von einem euklidischen affinen Raum.
(ii) Für zwei Punkte P, Q ∈ P heißt die nicht–negative reelle Zahl
P Q = d(P, Q) := −→
P Q = 〈 −→
P Q, −→
P Q〉
der Abstand zwischen P und Q.
Beobachtung: Für alle P, Q, R ∈ P gilt:
d(P, Q) = 0 ⇐⇒ P = Q
d(P, Q) = d(Q, P )
d(P, R) ≤ d(P, Q) + d(Q, R).
Ganz allgemein heißt eine Funktion d : M × M → R + 0 auf einer Menge M eine Metrik,
wenn sie diese drei Eigenschaften erfüllt.
6.3.1 Der Abstand zwischen einem Punkt und einem affinen Unterraum
Satz 47 (Senkrechte Distanz ist minimale Distanz) Es sei Q ein m–dimensionaler
affiner Unterraum von P und A ∈ P. Die folgenden Aussagen über einen Punkt B ∈ Q
sind äquivalent.
(i) Ist {w1, . . . , wm} eine Orthonormalbasis des Translationsvektorraums U von Q, so
gilt
−→
QB = 〈 −→
QA, w1〉 w1 + . . . + 〈 −→
QA, wm〉 wm
für alle Q ∈ Q.
(ii) Es gilt 〈 −→
AB, −→
BQ〉 = 0 für alle Q ∈ Q, d.h. −→
AB steht senkrecht auf Q.
(iii) Es ist −→
AB < −→
AQ für alle Q ∈ Q \ {B}, d.h. B ∈ Q ist näher an A als alle
anderen Punkte von Q,
(iv) Es gilt: −→
AB ≤ −→
AQ für alle Q ∈ Q, d.h. bei B wird der Abstand der Punkte
Q ∈ Q zu A minimal.