Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 24
Beispiele: Wir betrachten den Vektorraum V = R n mit der Standardbasis {e1, e2, . . . , en}.
Ein Vektor v ∈ V kann eindeutig als v = v1e1 + v2e2 + . . . + vnen geschrieben werden.
Wir definieren das kanonische oder Standard–Skalarprodukt auf V durch
〈v, w〉 := v1w1 + v2w2 + . . . + vnwn = v T · w.
Probiere das für zwei Vektoren aus R 4 aus.
Satz 16 (und Beispielklasse EU1)
Es sei B = (bjk) eine n × n–Matrix. Durch
〈v, w〉 B := v T · B · w =
n
j,k=1
vjbjkwk
ist eine Bilinearform auf V definiert. Ist umgekehrt eine Bilinearform 〈· , · 〉 auf V gegeben,
so wird durch
bjk = 〈ej, ek〉
eine Matrix B definiert.
Die so gegebene Korrespondenz zwischen Bilinearformen und Matrizen ist umkehrbar eindeutig.
Die in diesem Zusammenhang gegebene Matrix B heißt auch Gram’sche Matrix oder
Strukturmatrix.
Beispiele
1. Zum Standard–Skalarprodukt gehört im obigen Sinne die Einheitsmatrix B = I = (δjk).
(Erinnern Sie sich an die Definition des Kronecker–Symbols in Abschnitt 4.3 LAL01.)
〈v, w〉 I =
n
vjδjkwk =
j,k=1
n
vjwj.
j=1
2. (Staatsexamen F00 T2, A3a) Auf dem R 3 sei die Bilinearform
(x, y) := x1y1 + 3x2y2 + 4x3y3 + x1y2 + x2y1 + x1y3 + x3y1 + x2y3 + x3y2
gegeben. Zeigen Sie, dass diese Bilinearform ein inneres Produkt auf dem R 3 definiert.
Bei einer Vertauschung von x und y gilt:
(y, x) := y1x1 + 3y2x2 + 4y3x3 + y1x2 + y2x1 + y1x3 + y3x1 + y2x3 + y3x2