Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 46 (iv) Die quadratische Matrix fB − λ ist nicht–invertierbar. (v) λ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms: χf(λ) = 0. Definition Die Vielfachheit als Nullstelle in χf(x) heißt die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ. Beweis Der Satz faßt nur bereits bekannte Aussagen zusammen. Bemerkung Im Falle eines Vektorraums V über K = R kann es zu einem Endomorphismus f nach unserer Definition genau–genommen nur reelle Eigenwerte geben. Das charakteristische Polynom χf von f kann aber komplexe Nullstellen haben. Beispiel: Die Abbildung v ↦→ 0 −1 1 0 · v im R 2 hat keine reellen Eigenwerte und damit auch keine Eigenvektoren. Das charakteristische Polynom hat zwei komplexe Nullstellen λ1 = +i und λ2 = −i. Diese Nullstellen heißen die komplexen Eigenwerte des Endomorphismus im reellen Vektorraum V . Hintergrund dieser Begriffsbildung ist, dass Endomorphismen in reellen Vektorräumen ,,komplexifiziert” werden können. Der komplexifizierte Endomorphismus besitzt dann die komplexen Eigenwerte im genauen Sinne der Definition. In Bezug auf das obige Beispiel gilt: 0 1 −1 1 · 0 i 0 1 −1 1 · 0 −i = = −i 1 = −i · 1 i i 1 = i · 1 −i
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 47 Satz 30 (ED 5: Geometrische und algebraische Vielfachheit) Es sei V ein Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung. Für einen Eigenwert λ ist geometrische Vielfachheit ≤ algebraische Vielfachheit. Beweis Es sei E = Eig(f, λ) der Eigenraum zum Eigenwert λ mit der Dimension m, die ja gleich der geometrischen Vielfachheit ist. Wir wählen eine Basis {w1, . . . , wm} von E und ergänzen sie durch {wm+1, . . . , wn} zu einer Basis B von V . Dann hat f die Darstellungsmatrix ⎛ λ ⎜ 0 ⎜ fB = ⎜ ⎝ 0 · · · 0 ∗ · · · ∗ . . 0 0 . .. . .. · · · · · · . .. . .. 0 · · · . 0 λ 0 . . . ∗ ∗ . · · · · · · ⎞ ⎟ . ⎟ . ⎟ ∗ ⎟ ∗ ⎟ . ⎠ 0 · · · · · · 0 ∗ · · · ∗ Das charakteristische Polynom ist dann aber χf(x) = χfB (x) = det(fB − x) = (λ − x) m · det( ,,Block rechts unten” − x) =:q(x) = (−1) m · (x − λ) m · q(x). Also ist m kleiner oder gleich dem Grad der Nullstelle λ in χf(x). Die Gleichung in (v) bietet ein Handhabe zum Auffinden der zunächst unbekannten Eigenwerte λ. Ist ein Eigenwert λ bekannt, so kann man durch Lösen des LGS in (iii) Eigenvektoren finden.
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