Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 70
Zunächst gilt:
λ 2 · 〈w, w〉 = 〈λw, λw〉 = 〈f(w), f(w)〉 = 〈w, w〉.
Da λ 2 = 1 ist, muss 〈w, w〉 = 0 sein. (Dies ist kein Widerspruch zur Positiv–Definitheit
des Skalarprodukts, da w ein komplexer Vektor ist. ) Daraus folgt aber auch
〈w, w〉 = 〈w, w〉 = 0 = 0.
Jetzt sehen wir, dass Real– und Imaginärteil von w aufeinander senkrecht stehen, es gilt
nämlich
4i 〈u, v〉 = 〈u + iv, u + iv〉 − 〈u − iv, u − iv〉 = 〈w, w〉 − 〈w, w〉 = 0.
Außerdem gilt:
f(u) = f( 1
1
· (w + w)) = · (λw + λw)
2 2
= 1
[(a − ic)(u + iv) + (a + ic)(u − iv)] = au + cv.
2
f(v) = f( 1
1
· (w − w) = · [λw − λw]
2i 2i
= 1
[(a − ic)(u + iv) − (a + ic)(u − iv)] = av − cu.
2i
Der durch u, v aufgespannte Unterraum ist invariant, die Matrixdarstellung dieser Abbildung
innerhalb dieses Unterraums ist die Drehmatrix
D k+2
2
=
a −c
c a
.
Setzen wir wk+1 := 1
u · u und wk+2 := 1 · v, so ist die Aussage für k + 2 gezeigt.
v
Für k ≥ 2r hat das charakteristische Polynom der auf U ⊥ k eingeschränkten Abbildung
f immer noch (komplexe) Nullstellen. Diese sind aber reell, nach dem Satz über die
Eigenwerte orthogonaler Abbildungen also gleich 1 oder gleich −1. Man wähle als wk+1
einen zugehörigen (reellen) normierten Eigenvektor aus U ⊥ k . Dann ist die Aussage für k+1
gezeigt.