Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)
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S. Hilger, <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> 2 (<strong>GS</strong>/<strong>HS</strong>/<strong>RS</strong>) SS 2010 54<br />
10. Die inverse Matrix ist<br />
T =<br />
11. Es gilt dann<br />
Beispiel 2<br />
3 2<br />
−1 −1<br />
T · fB · T −1 =<br />
<br />
.<br />
2 0<br />
0 1<br />
3<br />
<br />
.<br />
Es sei f eine lineare Abbildung in einem 3–dimensionalen reellen Vektorraum. Bezüglich<br />
einer Basis habe sie die Matrixdarstellung<br />
⎛<br />
fB = ⎝<br />
3 1 0<br />
0 −1 c<br />
0 0 3<br />
⎞<br />
⎠<br />
1. Dieser Schritt erübrigt sich.<br />
2. Das charakteristische Polynom ist wegen der Dreiecksgestalt leicht zu berechnen:<br />
χf(x) = (3 − x) 2 · (−1 − x).<br />
3. Die beiden Eigenwerte sind λ1 = 3, λ2 = −1.<br />
4. Die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte sind n1 = 2, n2 = 1.<br />
5. Die Zerlegung in Linearfaktoren liegt bereits (wegen der Dreiecksgestalt der Matrix<br />
fB) vor.<br />
6. Es ist<br />
also<br />
⎛<br />
fB − 3 = ⎝<br />
0 1 0<br />
0 −4 c<br />
0 0 0<br />
⎞<br />
⎠ ,<br />
g1 = n − Rang(fB − 3) =<br />
Weiter ist g2 = 1.<br />
3 − 2 = 1 = n1, falls c = 0,<br />
3 − 1 = 2 = n1, falls c = 0.<br />
7. f ist genau dann diagonalisierbar (über R oder über C), wenn c = 0. Wir führen<br />
<strong>für</strong> diesen Fall die Diagonalisierung durch.
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