Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 58
5 Abbildungen in euklidischen Vektorräumen
5.1 Das Skalarprodukt beim Basiswechsel
Es sei (V, 〈· , · 〉) ein euklidischer Vektorraum. Durch eine Orthonormalbasis B =
{w1, . . . , wn} ist eine Abbildung
ηB
⎧
⎪⎨
⎪⎩
V → K n
v ↦→ vB =
durch die Gleichung
definiert.
⎛
⎜
⎝
v = v1w1 + . . . + vnwn
v1
.
vn
⎞
⎟
⎠
Hinweis zur Notation: In diesem Kapitel sind für j = 1, . . . , n die Zahlen uj, vj ∈ K
Komponenten von Vektoren u bzw. v und wj die Vektoren einer Orthonormalbasis.
Satz 34 Ist B eine Orthonormalbasis für V , so gilt für alle u, v ∈ V
〈u, v〉 = (uB) T · vB = u1v1 + . . . + unvn.
Man kann auch sagen, dass das Skalarprodukt 〈· , · 〉 von V bei der B–Darstellung in das
Standard–Skalarprodukt auf dem K n übergeht, also dort der Bilinearform B = I entspricht.
Beweis Ist B = {w1, . . . , wn} die Orthonormalbasis, so gilt
〈u, v〉 = 〈u1w1 + . . . + unwn, v1w1 + . . . + vnwn〉
= 〈u1w1, v1w1〉 + . . . + 〈unwn, vnwn〉 = u1v1 + . . . + unvn.
5.2 Die adjungierte Abbildung
Definition Es sei (V, 〈· , · 〉) ein euklidischer Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus.
Eine weitere lineare Abbildung g : V → V heißt adjungiert zu f, wenn für alle
v, w ∈ V gilt:
Satz 35
〈f(v), w〉 = 〈v, g(w)〉.