Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 7
1.3 Zerlegung von Permutationen
Satz 1 (P1 Zerlegung von Permutationen)
(i) Jede Permutation π, kann als Produkt von paarweise disjunkten Zyklen geschrieben
werden. Die Faktoren sind eindeutig.
(ii) Jeder Zyklus der Länge k kann als Produkt von k − 1 Transpositionen geschrieben
werden.
(iii) Folgerung: Jede Permutation π, kann als Produkt von Transpositionen geschrieben
werden.
Beispiele:
1 2 3 4 5 6 7 8
5 8 2 7 1 6 4 3
Beweis Zu (i):
= (1 5) · (2 8 3) · (4 7).
1. Für die gegebene Permutation π bestimme man zunächst die Menge M der Zahlen, die
nicht auf sich selbst abgebildet werden.
2. Wähle eine Zahl j ∈ M und ,,starte” den zugehörigen Zyklus
j ↦→ π(j) ↦→ π 2 (j) ↦→ . . . ↦→ π k (j) = j,
wir haben den Zyklus
(j π(j) π 2 (j) π k−1 (j))
der Länge k ,,herausgefiltert”. Der Zyklus endet mit der Zahl j, ohne dass zwischenzeitlich
eine der beteiligten Zahlen zweimal aufgetreten wäre. (Warum?)
3. Wähle aus M solange weitere Zahlen aus und konstruiere die zugehörigen Zyklen, bis
alle Zahlen aus M erfasst sind.
Zu (ii):
(j1 j2 . . . jk) = (j1 j2) · (j2 j3) · . . . · (jk−2 jk−1) · (jk−1 jk).