Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 28
(ii) Es ist
α · v = 〈α · v, α · v〉 = α · 〈v, α · v〉 = α 2 · 〈v, v〉 = |α| · 〈v, v〉 = |α| · v.
(iii) Wir gehen in mehreren Schritten vor.
(1) Für w = 0 ist die Aussage des Satzes trivial.
(2) Für beliebiges α ∈ R gilt:
0 ≤ 〈v − αw, v − αw〉 = 〈v, v〉 − α〈v, w〉 − α〈w, v〉 + α 2 〈w, w〉
= 〈v, v〉 − 2α〈v, w〉 + α 2 〈w, w〉.
(3) Für w = 0 setzen wir in (2) α := 〈v,w〉
. Dann lautet die obige Ungleichung:
〈w,w〉
〈v, w〉
0 ≤ 〈v, v〉 − 2 · 〈v, w〉 +
〈w, w〉
〈v, w〉
2 〈w, w〉.
〈w, w〉
Die Multiplikation dieser Ungleichung mit 〈w, w〉 > 0 liefert
und dann
0 ≤ 〈v, v〉 · 〈w, w〉 − 〈v, w〉 2
〈v, w〉 2 ≤ 〈v, v〉 · 〈w, w〉.
Zieht man daraus die Wurzel, so hat man die CSU.
(4) Gleichhheit gilt in der letzten Ungleichung genau dann, wenn Gleichheit in (2) gilt,
wenn also
0 = v − αw = v −
〈v, w〉
〈w, w〉 w.
Das bedeutet aber gerade lineare Abhängigkeit der Vektoren v und w.
(iv) Ein typischer Trick beim Umgang mit Ungleichungen bei Bilinearformen ist, zum
Quadrat überzugehen:
v + w 2 = 〈v + w, v + w〉 = 〈v, v〉 + 〈v, w〉 + 〈w, v〉 + 〈w, w〉
= v 2 + 2〈v, w〉 + w 2
≤ v 2 + 2v · w + w 2 = (v + w) 2 .
Die andere Ungleichung wird in der Übung bewiesen.
Satz 19 (EU 3: Orthonormale Mengen und Orthonormalbasen)